[Luis Fuentes]

Hola

 Alguien me preguntó referencias bibliográficas o enlaces sobre la Historia de la Inducción Matemática.

 De momento yo encontré estas referencias relacionadas:

  Bussey,W. H. The Origin of Mathematical Induction. Amer.Math. Monthly 24 (1917), no. 5, 199–207.

  Acerbi, F. Plato: Parmenides 149a7-c3. A proof by complete induction? Arch. Hist. Exact Sci. 55 (2000), no. 1, 57--76. 

 Y cosas sueltas en estos enlaces:

 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Infinity.html

 http://ciencia.astroseti.org/matematicas/articulo.php?num=3482

 Pero se agradecerían más aportaciones.

Saludos.
 

[LauLuna]

Se dice que el primero en usar explícitamente la técnica de inducción fue Pascal en su tratado sobre el triángulo aritmético.

Adjunto un texto sobre el tema.

[danielc]

Buenos días. Es la inducción aceptada cómo método de demostración? O, sólo es utilizada como una herramienta para apoyar lo métodos directo, indirecto, contrareciproco de demostración? Y en caso de ser herramienta para aplicar en los métodos de demostración, en cuál se utiliza mayoritariamente?. Gracias. Y disculpas, si la pregunta no viene al caso. Muchas gracias.

[david__bernal]

Hola.
Si te refieres a:
si 0 tiene la propiedad P, y si suponiendo que un número n la cumple llegamos a que n + 1 la cumple, entonces la cumplen todos los naturales.
Sip es un razonamiento valido producto del principio del buen orden de los naturales.

[danielc]

Muchas gracias. david__bernal.
Desde luego, ese es el principio de inducción implícito en los axiomas de Peano, pero la pregunta consiste en esclarecer sí este principio (el de inducción), es solo una herramienta que apoya en cierta manera alguno(s) método(s) de demostración o a descubrir monotonias (crecientes o decrecientes en sucesiones), u otras situaciones similares en las diferentes ramas de la matemática, desde luego, de gran importancia para demostrar teoremas, colorarios, proposiciones, ..., matemáticas de gran relevancia; o de por sí, o también puede considerarse como método válido y completo de demostración. Gracias.

[Masacroso]

Muchas gracias. david__bernal.
Desde luego, ese es el principio de inducción implícito en los axiomas de Peano, pero la pregunta consiste en esclarecer sí este principio (el de inducción), es solo una herramienta que apoya en cierta manera alguno(s) método(s) de demostración o a descubrir monotonias (crecientes o decrecientes en sucesiones), u otras situaciones similares en las diferentes ramas de la matemática, desde luego, de gran importancia para demostrar teoremas, colorarios, proposiciones, ..., matemáticas de gran relevancia; o de por sí, o también puede considerarse como método válido y completo de demostración. Gracias.

En esencia el principio de inducción debe postularse, es decir, tomarse como un axioma, ya que existen modelos de aritmética sin tal principio de inducción. En ZFC me parece es consecuencia del axioma de fundación (entre otros), pero podría equivocarme, otros usuarios saben muchísimo más de este tema que yo, sin duda.

[Carlos Ivorra]

Muchas gracias. david__bernal.
Desde luego, ese es el principio de inducción implícito en los axiomas de Peano, pero la pregunta consiste en esclarecer sí este principio (el de inducción), es solo una herramienta que apoya en cierta manera alguno(s) método(s) de demostración o a descubrir monotonias (crecientes o decrecientes en sucesiones), u otras situaciones similares en las diferentes ramas de la matemática, desde luego, de gran importancia para demostrar teoremas, colorarios, proposiciones, ..., matemáticas de gran relevancia; o de por sí, o también puede considerarse como método válido y completo de demostración. Gracias.

En esencia el principio de inducción debe postularse, es decir, tomarse como un axioma, ya que existen modelos de aritmética sin tal principio de inducción. En ZFC me parece es consecuencia del axioma de fundación (entre otros)

La pregunta de danielc podría dar lugar (y ha dado en este foro) a muchos debates filosóficos, pero mi impresión es que su pregunta no apunta hacia esa clase de debates y que, si la entiendo correctamente, su respuesta es muy simple:

Sí, rotundamente sí, la inducción matemática es un teorema matemático y, por lo tanto un método válido y completo de demostración.

Más precisamente, en ZFC la inducción matemática es un teorema cuya demostración dependerá de la definición concreta de "número natural" que se adopte, pero todas son muy simples, por el mero hecho de que cualquier definición de número natural se hace ya de forma que el principio de inducción está incluido en ella más o menos explícitamente.

El axioma de fundación no es necesario realmente. Si se definen los números naturales como ordinales finitos, entonces se puede exigir en la definición de ordinal que éstos estén bien fundados, y entonces no es necesario el axioma de fundación (que afirma que todo conjunto está bien fundado). Si se supone este axioma, entonces se puede eliminar la condición de buena fundación de la definición de número natural y entonces hace falta el axioma para probar el principio de inducción.

[danielc]

Muchas gracias Masacroso y Carlos Ivorra. Desde luego, mi pregunta no se orienta hacia ningún debate filosófico, aunque ahora que lo menciona, me gustaría conocer algunas ideas resultantes del mismo. Muchas gracias por su ayuda.

[Carlos Ivorra]

Desde luego, mi pregunta no se orienta hacia ningún debate filosófico, aunque ahora que lo menciona, me gustaría conocer algunas ideas resultantes del mismo.

La interpretación no filosófica de tu pregunta consiste en que, esencialmente, las técnicas de razonamiento que se consideran válidas en matemáticas son las formalizables en una teoría de conjuntos como ZFC. Como el principio de inducción es demostrable en ZFC, eso zanja el asunto (no filosófico).

La filosofía aparece cuando uno se da cuenta de que para definir ZFC, para definir las reglas válidas de razonamiento en ZFC y que ZFC no es una teoría caprichosa, sino que cumple lo que cabe esperar que cumpla una teoría que quiera tomarse como referencia del rigor matemático, es necesario hablar de números naturales y usar el principio de inducción. Por lo tanto, el principio de inducción hay que aceptarlo como válido antes de tener construida la teoría axiomática que determina qué es un razonamiento matemático válido.

Y eso lleva a muchas posiciones filosóficas diversas, desde el que piensa que la fundamentación de la matemática es un engaño, porque cae en un círculo vicioso y el presunto rigor matemático se define de forma inaceptablemente no rigurosa, hasta el considera que, entendiendo todo "bien entendido", no hay problema alguno. Pero el "bien entendido", admite a su vez distintas interpretaciones.

[danielc]

Muchas gracias Carlos Ivorra por su excelente explicación.