[franma]

Buenas a todos,

Tengo las siguientes definiciones:

Spoiler

La noción de subconjunto definible esta definida por la siguiente fórmula (externa) de \( \mathsf{ZF} \):

\( Y\text{ subconjunto definible de }X :\equiv Y\subseteq X\land (\exists n\in \omega) (\exists f\in Form_{n+1})(\exists (x_1,...,x_n)\in X^n)(\forall x\in X)(x\in Y \Leftrightarrow (X,\in)\models f(x,x_1,...,x_n)) \)

Usando el esquema de comprensión definimos:

\( \text{Def}(X) := \{Y\in \mathfrak{P}(X) : Y\text{ subconjunto definible de }X\} \)

[cerrar]

Ahora quiero probar que si \( X \) es transitivo entonces \( \text{Def}(X) \) es transitivo.

Tomamos \( Y\in \text{Def}(X) \), entonces existe \( n\in \omega \), \( f\in \text{Form}_{n+1} \) y \( (x_1,...,x_n)\in X^n \) tales que:

\( Y = \{x\in X : (X,\in)\models f(x,x_1,...x_n)\} \)

Y ahora no tengo idea de que hacer no creo que sea tan complicado, pero estoy totalmente perdido.

Espero alguien me pueda ayudar.

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Tienes que probar que \( Y\subset \mbox{Def}(X) \), para lo cual tienes que ver que si \( y\in Y \), entonces \( y\in \mbox{Def}(X) \). En principio tienes que \( y\in X \), pero, como \( X \) es transitivo, resulta que \( y\subset X \), que es lo primero que necesitas para que \( y \) pueda ser un subconjunto definible de \( X \).

Y ahora basta observar que

\( \forall x\in X(x\in y\leftrightarrow (X, \in)\vDash x\dot \in y) \)

luego \( y \) verifica la definición de subconjunto definible tomando \( f =(x\dot\in y) \), considerando a \( y\in X \) como parámetro de la definición.

[franma]

Perfecto Carlos, todo entendido.

Por cierto, nunca usamos que \( Y\in \text{Def}(X) \) (más alla de que lo precisamos tomar para verificar la definición de que \( \text{Def}(X) \) sea transitivo), directamente si \( X \) es transitivo entonces todo elemento \( x\in X \) es un subconjunto definible de \( X \).

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Por cierto, nunca usamos que \( Y\in \text{Def}(X) \) (más alla de que lo precisamos tomar para verificar la definición de que \( \text{Def}(X) \) sea transitivo), directamente si \( X \) es transitivo entonces todo elemento \( x\in X \) es un subconjunto definible de \( X \).

Así es. Se puede definir tomando al propio \( x \) como parámetro.

[franma]

Gracias.