[Maro]

Tengo que encontrar una función de clase 1, cuya derivada respecto a \( x \) es \( y \) y la derivada respecto a \( y \) es \( sin (x) \).
Yo creo que no existe pero no sé como justificarlo sin usar integrales.
¿¿Podéis ayudarme? Gracias
Mensaje corregido desde la administración.

[manooooh]

Hola Maro, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Tengo que encontrar una función de clase \( 1 \), cuya derivada respecto a \( x \) es \( y \) y la derivada respecto a \( y \) es \( \sin x \).
Yo creo que no existe pero no sé cómo justificarlo sin usar integrales.
¿¿Podéis ayudarme? Gracias

Tal función existe, pero no creo que no pueda resolverse mediante alguna integral. Al menos habrá que integrar 1 vez.

¿En qué contexto te surge este problema y por qué no puedes aplicar integrales?

Saludos

[Maro]

Es una cuestión de un boletín, no creo que deba utilizar integrales pues no las hemos estudiado.
Gracias

[manooooh]

Hola

Es una cuestión de un boletín, no creo que deba utilizar integrales pues no las hemos estudiado.

A ver qué tal así:

¿Qué función tal que al derivarla nos da \( y \)? La respuesta es \( y^2/2+C_1 \).

¿Qué función tal que al derivarla nos da \( \sin x \)? La respuesta es \( -\cos x+C_2 \).

Luego, realizando la combinación lineal de ambas funciones, nos queda \( f(x,y)=y^2/2-\cos x+C_3 \), donde \( C_3=C_1+C_2\in\Bbb{R} \).

Es una forma menos evidente de usar integrales.

Comprueba que las derivadas parciales coinciden con las del enunciado.

Saludos

[Maro]

Creo que así no funciona, estarían las derivadas al revés, ¿no?
Gracias

[ani_pascual]

Hola:

Tengo que encontrar una función de clase 1, cuya derivada respecto a x es y y la derivada respecto a y es sin x.
Yo creo que no existe pero no se como justificarlo sin usar integrales.
¿¿Podeis ayudarme? Gracias

Si no me equivoco... me parece que no existe por la siguiente razón:
Si existe dicha función \( F:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R} \) que cumple \( \dfrac{\partial F}{\partial x}=y, \dfrac{\partial F}{\partial y}=\sin x \) entonces existen las segundas derivadas parciales cruzadas \( \dfrac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=1,\dfrac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\cos x \), que son continuas en \( \mathbb{R}^2 \), luego deberían ser iguales, por el teorema de Schwarz. Por tanto, como no son iguales, no existe la función \( F \)
Saludos

[Maro]

Gracias

[Maro]

Gracias, creo que tiene sentido.

[Fernando Revilla]

Si no me equivoco... me parece que no existe por la siguiente razón:
Si existe dicha función \( F:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R} \) que cumple \( \dfrac{\partial F}{\partial x}=y, \dfrac{\partial F}{\partial y}=\sin x \) entonces existen las segundas derivadas parciales cruzadas \( \dfrac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=1,\dfrac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}=\cos x \), que son continuas en \( \mathbb{R}^2 \), luego deberían ser iguales, por el teorema de Schwarz. Por tanto, como no son iguales, no existe la función \( F \)

No te equivocas . Añadiría que aunque sólo se exige que la función \( F \) sea de clase \( 1 \), de las parciales \( F_x=y \), \( F_y=\sin x \)  se deduce que \( F \) sería al menos de clase \( 2 \) y por tanto sería aplicable el teorema de Schwarz.

Relacionado con esto: Ecuación diferencial exacta

[Maro]

Gracias a todos