Hola
Buenas, iré apartado por apartado,
A) Los puntos son \( (0,0,1) \) y \( (0,0,-1) \), correcto. El problema lo encuentro a la hora de calcular las curvaturas principales dado que no sé parametrizar la superficie.
Pero ya te había indicado una parametrización:
\( u(s,t)=(s,t,\pm \sqrt[2n]{1-s^{2n}-t^{2n}}) \)
B) Aquí yo había demostrado que la proyección es biyectiva localmente (inmediato más o menos)
Ojo, porque es localmente biyectiva salvo en los puntos de \( S_n \) con \( z=0 \).
De manera precisa tienes dos inversas locales, una válida para el casquete de \( S_n \) con \( z>0 \) y otra para \( z=0 \):
\( u_+(s,t)=(s,t,+ \sqrt[2n]{1-s^{2n}-t^{2n}}) \)
\( u_-(s,t)=(s,t,- \sqrt[2n]{1-s^{2n}-t^{2n}}) \)
La comprobación de que efectivamente son inversas \( \pi \) y \( u_\pm \) (y son diferenciables) ya es una demostración de que en puntos con \( z\neq 0 \) se tiene un difeomorfismo local.
y que, tomando z en función de \( x \) e \( y \), y tal y como haces en tu parametrización, y derivando en los puntos de la forma \( x=0, y=0 \), obtengo que las derivadas parciales se anulan => la inversa no está bien definida en estos puntos (¿sería correcto?).
Aquí me pierdo. En primer lugar para \( x=0,y=0 \) los dos únicos puntos de \( S_n \) si son \( (0,0,1) \) y \( (0,0,-1) \) y en esos puntos quedamos que si es un difeomorfismo local.
Para ver que no es un difemorfismo local en puntos de la forma \( P=(x,y,0)\in S_n \) basta notar que cualquier entorno abierto de esos puntos contiene una bola abierta \( B(P,r) \); dado que las bolas son simétricas respecto al plano \( z=0 \) si \( (x',y',z')\in B(P,r)\cap S_n \) con \( z'\neq 0 \), entonces \( (x',y',-z')\in B(P,r)\cap S_n \) y \( \pi(x',y',z')=(x',y')=\pi(x',y',-z') \); luego \( \pi \) no es inyectiva en ningún entorno abierto de un punto de la forma \( P=(x,y,0)\in S_n \) y así no es un difeomorfismo local en tales puntos.
C) En este apartado, para la biyectividad no sé cómo probar la inyectividad, ya que si tuviera \( f(2,0,0)=f(1,0,0) \), ¿no? [/tex]
No se muy bien que quieres decir ahí. La función que te proponen lleva cualquier punto \( P \) en la intersección de la recta que lo une con el origen con la esfera. La cosa es que en cada semirecta que une el origen con cualqueir punto, tu superficie \( S_n \) sólo tiene un punto y por eso va a ser inyectiva. Que \( f(2,0,0)=f(1,0,0) \) no es problema porque \( (2,0,0)\not\in S_n \).
En cualquier caso para ver de una tacada que es inyectiva y sobreyectiva basta que compruebes que la función que te propuse:
\( f^{-1}(q)=\dfrac{q}{\|q\|_{2n}} \)
es inversa de la dada. Si una función tiene inversa automáticamente es biyectiva.
Para la diferenciabilidad, simplemente menciono que es composición de diferenciables, y para la diferenciabilidad en la inversa tampoco tengo mucha idea.
Tampoco veo el problema. Es la misma idea basta tener en cuenta que la inversa es producto, cociente (con denoninador no nulo), composición de funciones diferenciables ...
Saludos.
