Hola:
Dada la ecuación diferencial de primer orden:
\[
y' + 2y = e^{-x},
\]
¿Cómo se determina la solución general utilizando el método del factor integrante?
La ecuación se puede expresar como \( P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\Longleftrightarrow (2y-e^{-x})dx+dy=0 \) con \( P(x,y)=2y-e^{-x} \), \( Q(x,y)=1 \). Se ve que \( \dfrac{\partial P}{\partial y}=2\neq 0=\dfrac{\partial Q}{\partial x}
\). Si buscamos un factor integrante \( \mu=\mu(x) \) dependiente solo de \( x \) y multiplicamos en la EDO, resulta \( \mu(x)(2y-e^{-x})dx+\mu(x)dy=0 \), para que sea exacta se ha de cumplir \( \dfrac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\dfrac{\partial (\mu Q)}{\partial x}\Longleftrightarrow 2\mu(x)=\mu'(x) \) de donde \( \mu(x)=e^{2x} \). Así la EDO \( e^{2x}(2y-e^{-x})dx+e^{2x}dy=0 \) es exacta y se puede buscar \( F(x,y) \) tal que
\( \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial x}=e^{2x}(2y-e^{-x})\,\,\, \), \( \dfrac{\partial F(x,y)}{\partial y}=e^{2x} \). Así pues, integrando respecto a \( y \) es \( F(x,y)=\displaystyle\int e^{2x}\,dy=ye^{2x}+k(x) \) y derivando ahora respecto a \( x \), \( 2ye^{2x}+k'(x)=e^{2x}(2y-e^{-x}) \) con lo que es \( k'(x)=-e^x\Longrightarrow k(x)=-e^x \) y se obtiene la solución general de la EDO, \( F(x,y)=C \), es decir, \( \boxed{ye^{2x}-e^{x}=C} \)
Añadido: En este caso se puede expresar de forma explícita \( \boxed{y=Ce^{-2x}+e^{-x}} \)
Saludos
