Hola:
Hola a todos, estoy estudiando ´algebra lineal y me surgieron dudas sobre el Teorema de Rouché-Frobenius y su corolario. Entiendo que este teorema establece las condiciones para la existencia de soluciones en un sistema linealde ecuaciones. En particular, si se tiene un sistema \( Ax = b \), con \( A\in \Bbb R_{m\times n} \), el teorema afirma que:
El sistema tiene solución si y solo si \( rg(A) = rg([A|b]) \), donde \( rg(A) \) es el rango de la matriz de coeficientes y \( rg([A|b]) \) es el rangode la matriz ampliada.
...
Respecto al teorema...
Sea \( AX=B \) un sistema de \( m \) ecuaciones lineales con \( n \) incógnitas. Veamos que el sistema es compatible (tiene solución) si y solo si \( rg(A)=rg(A|B) \).
\( ``\Longrightarrow "\\ \)
Si tiene solución , existe un vector \( v=(v_1,\ldots,v_n)^t \) tal que
\( Av=B\Longrightarrow \left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}v_1\\\vdots \\v_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_1\\\vdots\\b_m\end{array}\right)\Longleftrightarrow v_1\left(\begin{array}{c}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{array}\right)+\cdots +v_n\left(\begin{array}{c}a_{1n}\\\vdots\\a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_1\\\vdots \\b_m\end{array}\right) \). Así el vector \( B \) pertenece al espacio vectorial generado por los vectores columna de \( A \), con lo que \( rg(A)=rg(A|B) \).
El recíproco es análogo:
\( ``\Longleftarrow " \)
Si es \( rg(A)=rg(A|B) \), el vector \( B \) pertenece al espacio vectorial generado por los vectores columna de \( A \), con lo que existen escalares \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) tales que
\( \lambda_1\left(\begin{array}{c}a_{11}\\\vdots\\a_{m1}\end{array}\right)+\cdots +\lambda_n\left(\begin{array}{c}a_{1n}\\\vdots\\a_{mn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_1\\\vdots \\b_m\end{array}\right) \) de donde el sistema es compatible, ya que \( (\lambda_1,\ldots,\lambda_n)^t \) es una solución del sistema.
Saludos
