[Alejandra_]

I

[ani_pascual]

Hola:

Tengo la proposición: Sean \( V \) un k-e.v. y \( U\preceq V \). Entonces \( U \) es finitamente generado y \( dim U\leq dim V \). Además, \( dim U = dim V\quad \Leftrightarrow \quad U =V. \)

Mi duda es si se supone que \( V \) tiene dimensión finita, porque si no, ¿\( V \) tiene subespacios de dimensión infinita no? Y por tanto no podemos decir que \( U \) sea finitamente generado. ¿Un espacio de dimensión infinita puede tener una base finita?.

¿No será que el enunciado supone que también \(  V \) es de dimensión finita?
Respecto a la penúltima pregunta, me parece que si \(  V \) es de dimensión infinita, sí puede tener subespacios de dimensión infinita. Por ejemplo, \( <\{e_{2n}\}_{n\in\mathbb{N}}> \) en \( c_{00} \) donde es \(  e_i=(0,\ldots,\stackrel{i}{1},\ldots,0\ldots) \) Espero no haber escrito una "burrada"
 
Y sí, la base de un espacio de dimensión infinita no puede ser finita.
Añadido: Por cierto, ¡bienvenida al foro! 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Mi duda es si se supone que \( V \) tiene dimensión finita, porque si no, ¿\( V \) tiene subespacios de dimensión infinita no? Y por tanto no podemos decir que \( U \) sea finitamente generado. ¿Un espacio de dimensión infinita puede tener una base finita?.

Si obviamente para que el resultado sea cierto es necesario añadir la hipótesis de que \( dim(V)<+\infty \).

¿No será que el enunciado supone que también \(  V \) es de dimensión finita?
Respecto a la penúltima pregunta, me parece que si \(  V \) es de dimensión infinita, sí puede tener subespacios de dimensión infinita. Por ejemplo, \( <\{e_{2n}\}_{n\in\mathbb{N}}> \) en \( c_{00} \) donde es \(  e_i=(0,\ldots,\stackrel{i}{1},\ldots,0\ldots) \) Espero no haber escrito una "burrada"

Si. Cualquier espacio vectorial de dimensión infinita tiene un subespacio propio de dimensión infinita\( ^{(1)} \). Basta coger un conjunto infinito de vectores independientes, eliminar uno de ellos y considerar el subespacio que generan.

Saludos.
\( ^{(1)} \) es necesario usar el Axioma de Elección.