Sí, claro, por ejemplo cualquier plano visto como subvariedad de \( \Bbb R^3 \) cumple eso.
Más en general, como muy bien apuntas, bajo condiciones razonables (por ejemplo, si las variedades son geodésicamente completas y las geodésicas son únicas) las subvariedades que cumplen eso son las totalmente geodésicas.
No sé cuáles son las condiciones más generales en las que esto funciona, tendría que pensarlo mejor.
En general, no obstante, puedes tener subvariedades totalmente geodésicas que no cumplan tu condición. Piensa por ejemplo en una esfera, y como subvariedad un círculo máximo al que le has quitado un pequeño arco. La subvariedad es totalmente geodésica (de hecho es un trozo de geodésica) pero si coges dos puntos cerca de los extremos del pequeño arco que has quitado, en la subvariedad estás forzado a ir por la geodésica larga, y por tanto la distancia es mayor que en la esfera.
