Buenas tardes. Estaba escribiendo una respuesta y a mitad de camino paré, porque me di cuenta que no había terminado de entender del todo. Si es geometría proyectiva, ¿estás trabajando en el espacio o en el plano proyectivo? a priori estaba escribiendo contando con que estabas en \( \mathbb{P}_\mathbb{R}^2 \), pero no entiendo exactamente qué pinta la construcción a regla acá, me confundió.
Ahora, si trabajás en \( \mathbb{P}_\mathbb{R}^2 \), recordemos entonces los axiomas (escritos informalmente):
- \( \exists{! P, Q} \) diferentes entre sí tal que \( P,Q\in{l} \).
- \( \exists{!\pi} \) que contiene 3 puntos \( P,Q,R \) no colineales.
- \( \#l\cap{\pi}\geq{1} \) punto.
- \( \#\pi\cap{\pi'}\geq{1} \) recta.
- \( \exists{4} \) puntos no coplanares tal que son 3 a 3 no colineales.
- \( \#l\geq{3} \) puntos.
Dos rectas por completo fuera del papel están determinadas cada una por dos pares de rectas que se cortan en puntos exteriores al papel.
Llamémosle a tus dos rectas \( l \) y \( r \), tal que \( l=\pi_1\cap{\pi_2} \) y \( r=\pi_3\cap{\pi_4} \). Hasta ahora solo hemos utilizado cuarto axioma, y gracias al último sabemos que el mínimo de puntos que contienen tus rectas es 3. Si \( l=r \) entonces ya ganaste y no habría necesidad de utilizar otro par de rectas. Ahora, ¿qué ocurre cuando \( l\neq r \)? tenemos garantizado que \( \exists{P,Q,R} \) cualesquiera distintos entre sí pertenecientes a \( l \). Análogamente, \( \exists{P',Q',R'}\in{r} \). El objetivo sería ver que \( R=R' \), y acá es donde entran en juego tus rectas auxiliares \( l' \) y \( r' \). Jugando con el quinto, el tercer y segundo axioma deberías tener lo necesario para llegar a algún absurdo.
Este es mi primer posteo en el foro y no sabría cómo seguir el planteo, estoy abierta a recibir feedback. Por otro lado, espero haberte podido ayudar un poco a encaminar el problema, Antonio.
Saludos.
