Hola estoy buscando ayuda para resolver esta integral de contorno:
Sea \( C \) el contorno, orientado en sentido positivo, del cuadrado cuyos lados pertenecen a las rectas \( x=\pm 2 \) e \( y=2 \). Calcular la integral
\( \displaystyle{
\int_{C}\frac{e^{-z}}{z-i \frac{\pi}{2}}\,d z
} \)
Hice la parametrización
\( z(t)= 2+2it,\quad 0\leqslant t \leqslant 1 \)
\( z(t)=2-2it,\quad 0\leqslant t\leqslant 2 \)
\( z(t)=-2-2it,\quad 2\leqslant t\leqslant 3 \)
\( z(t)=-2+2it,\quad 3\leqslant t\leqslant 4 \)
¿Está correcta?
¿Qué más tengo que hacer?
Hola
Valeriana, bienvenida al foro. En cuanto puedas echa un vistazo a las reglas del foro, tienes un enlace a las mismas en el pie en rojo que he añadido a tu mensaje. Te he tenido que bloquear el otro tema que has abierto porque no se permiten hilos repetidos.
Yendo propiamente al tema del ejercicio: tres rectas definen al menos un segmento, que si asumimos es el lateral de un cuadrado, entonces hay al menos dos cuadrados que posean tal segmento, dependiendo de si asumimos que el segmento dado es el lado superior o inferior del mismo.
Igualmente tu parametrización no se corresponde a ninguno de los cuadrados que describo antes, ya que la segunda parametrización de la lista tendría la orientación opuesta a la usual y además sería más larga de lo necesario, observa que el segmento parametrizado (que va desde \( 2 \) a \( 2-4i \)) forma parte del lateral derecho del rectángulo, y por tanto debe recorrerse hacia arriba, no hacia abajo. La orientación normal es en dirección contraria a las agujas del reloj, por tanto si un segmento es del lateral derecho de un cuadrado, habría que recorrerlo subiendo por él en vez de bajando.
En cualquier caso si tiene una parametrización de una curva \( L \) dada por una función continuamente diferenciable \( \varphi :[a,b]\to L \) entonces el cambio de variable se hace así
\( \displaystyle{
\int_{C}f(z)\,d z=\int_{a}^b (f\circ \varphi )(t)\cdot \varphi '(t)\,d t
} \)
donde el símbolo \( \circ \) significa composición (es decir que escribir \( (f\circ \varphi )(t) \) es lo mismo que escribir \( f(\varphi (t)) \)). A ver si con lo dicho puedes plantear una parametrización de alguno de los dos cuadrados determinados por el segmento determinado por las tres rectas dadas. Haz un dibujo para aclararte sobre las parametrizaciones de cada uno de los lados y la orientación de las mismas, y una vez que tengas las parametrizaciones, aplica la fórmula que te he dejado arriba para cada una de las parametrizaciones para calcular la integral. Otra cosa que puedes hacer para calcular la integral dada es aplicar alguno de los teoremas que conozcas sobre integrales sobre contornos.
