[Dorita]

Saludos a cada uno de ustedes.

Tengo que probar la desigualdad triangular para la p-norma en el caso complejo, asumiendo como cierto el caso real.
Este es el trabajo que he realizado, pero, no sé si está correcto  y me gustaría que me ayuden por favor

Consideremos dos vectores \( \mathbf{z_1},  \mathbf{z_2} \in \mathbb{C}^n \) tales que
\(  \mathbf{z_1} = a + bi \quad \text{y} \quad \mathbf{z_2} = a' + b'i \quad \text{con} \quad a, b, a', b' \in \mathbb{R} \)

\(  \|z_1 + z_2\|_p  \)
\( = \left( \sum_{i=1}^n |z_{1i} + z_{2i}|^p \right)^{1/p} \)
\(   = \left( \sum_{i=1}^n |(a_i + a_i') + i(b_i + b_i')|^p \right)^{1/p}  \)
\(  = \left( \sum_{i=1}^n \left( (a_i + a_i')^2 + (b_i + b_i')^2 \right)^{p/2} \right)^{1/p}  \)
\(  = \left( \sum_{i=1}^n \left( a_i^2 + 2a_i a_i'+ a_i'^2 + b_i^2 + 2b_ib_i'+ b_i'^2 \right)^{p/2} \right)^{1/p}  \)
\(  = \left( \sum_{i=1}^n \left( (a_i^2 + b_i^2) + (a_i'^2   + b_i'^2) + (2a_i a_i' + 2b_ib_i') \right)^{p/2} \right)^{1/p}  \)
\(  \leq \left( \sum_{i=1}^n \left( (a_i^2 + b_i^2) + (a_i'^2   + b_i'^2) \right)^{p/2} \right)^{1/p}  \)

por la desigualdad de Minkwoski

\( \leq \left( \sum_{i=1}^n \left( a_i^2 + b_i^2 \right)^{p/2} \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^n \left( a_i'^2 + b_i'^2 \right)^{p/2} \right)^{1/p} \)
\(  = \left( \sum_{i=1}^n \left| a_i + b_i \right|^{p} \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^n \left| a_i' + b_i' \right|^{p/2} \right)^{1/p} \)
\(  = ||z_1||_p + ||z_2||_p \)


No utilicé en ninguna parte que el caso real es verdadero, entonces, no sé qué estoy haciendo mal.
Ayuda por favor.
Gracias.

[Masacroso]

¿Cómo justificas la siguiente desigualdad?

\( \displaystyle{
 \left( \sum_{i=1}^n \left( (a_i^2 + b_i^2) + (a_i'^2   + b_i'^2) + (2a_i a_i' + 2b_ib_i') \right)^{p/2} \right)^{1/p} \leq \left( \sum_{i=1}^n \left( (a_i^2 + b_i^2) + (a_i'^2   + b_i'^2) \right)^{p/2} \right)^{1/p}
} \)

En principio no sabes el signo de \( 2a_i a_i' + 2b_ib_i' \), así que no veo que se pueda justificar esa desigualdad. Lo que puedes usar es que \( |z+w|\leqslant |z|+|w| \) para cualesqueira \( z,w\in \mathbb{C} \) y luego usar la versión real de la norma \( p \).

[Dorita]

Gracias por la corrección y por la sugerencia.

Entonces, he hecho lo siguiente, ¿será que ahora sí?   :'(

y se sabe que
   \( z_1 + z_2 = (a + a') + (b + b')i  \)
   \( |z_1 + z_2| = \sqrt{(a + b)^2 + (a' + b')^2} \)
entonces
   \( |z_1 + z_2| \)
\( = \sqrt{(a + b)^2 + (a' + b')^2} \)
 \( \leq \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a'^2 + b'^2}  \)
\( = |z_1| + |z_2| \)
se tiene
 \( |z_1 + z_2| \leq  |z_1| + |z_2| \)

aplicando potencia p ambos lados
 \( |z_1 + z_2|^p \leq  (|z_1| + |z_2|)^p \) 

sumando sobre todas las componentes
 \( \sum_{i=1}^{n} |z_1 + z_2|^p \leq  \sum_{i=1}^{n} (|z_1| + |z_2|)^p  \)

aplicando la desigualdad de Minkwoski
 \( \left( \sum_{i=1}^{n} |z_1 + z_2|^p \right)^{1/p} \leq \left(  \sum_{i=1}^{n} (|z_1| + |z_2|)^p \right)^{1/p} \)
 \( \leq \left(  \sum_{i=1}^{n} |z_1|^p \right)^{1/p} + \left(  \sum_{i=1}^{n} |z_2|^p \right)^{1/p} \)
\(  = ||z_1||_p + ||z_2||_p \)
\( ||z_1 + z_2||_p \leq ||z_1||_p + ||z_2||_p \)

[Masacroso]

Sí, me parece que está todo correcto, no veo ningún error.

[Dorita]

Gracias.