Es un problema más topológico que algebraico.
La idea es la siguiente: si \( M \) es un ideal que no está contenido en ninguno de los \( M_\beta \) puedes considerar para cada \( \beta \in [0,1] \) una función \( f_\beta \in M \) que cumple que \( f_\beta(\beta)>0 \) y \( f_\beta(x)\geq 0 \) para todo \( x \in [0,1] \). Esto lo puedes conseguir tomando una función \( g \in M \) que cumple \( g(\beta)\neq 0 \) y multiplicando por una función continua adecuada. El producto está en \( M \) por ser un ideal. Por continuidad, existirá un entorno \( U_\beta \) de \( \beta \) tal que \( f_\beta(x)>0 \) para todo \( x\in U_\beta \). Ahora el conjunto de todos los \( U_\beta \) es un recubrimiento abierto de \( [0,1] \). Por compacidad, existe un subrecubrimiento finito... A ver si puedes concluir a partir de ahí que en este caso \( M=C([0,1]) \) y por tanto \( M \) no es maximal.
Por este argumento entonces todo ideal que no sea \( C([0,1]) \) está contenido en alguno de los \( M_\beta \), y sólo queda ver que los \( M_\beta \) son maximales. La manera más fácil es considerar el morfismo evaluación en \( \beta \), \( \Phi_\beta:C([0,1]) \to \Bbb R \) definido por \( \Phi_\beta(f):=f(\beta) \), y aplicar el primer teorema de isomorfismo.
Añadido: he añadido un poco de detalle extra.
