[Julio_fmat]

Sean \( \pi_1: x+2y-3z+2=0 \) y \( \pi_2: -x+z=0 \).

a) Hallar la proyección ortogonal de la recta \( L \), que es intersección de \( \pi_1 \) con \( \pi_2 \) sobre el plano coordenado \( XY. \)

b) Hallar el área del triángulo que dicha proyección forma con los ejes \( X \) e \( Y. \)

Gracias

Hola, hice un intento para el ítem a).

Se tiene que \( \pi_1 \cap \pi_2: y-z+1=0. \)

Luego, la recta proyección corresponde a hacer producto interno con el vector de \( L. \) Así, la proyección es \( y=z. \)

 

[feriva]

Sean \( \pi_1: x+2y-3z+2=0 \) y \( \pi_2: -x+z=0 \).

a) Hallar la proyección ortogonal de la recta \( L \), que es intersección de \( \pi_1 \) con \( \pi_2 \) sobre el plano coordenado \( XY. \)

b) Hallar el área del triángulo que dicha proyección forma con los ejes \( X \) e \( Y. \)

Gracias

Hola, hice un intento para el ítem a).

Se tiene que \( \pi_1 \cap \pi_2: y-z+1=0. \)

Luego, la recta proyección corresponde a hacer producto interno con el vector de \( L. \) Así, la proyección es \( y=z. \)

 

Con la proyección sobre el eje XY de dos puntos cualesquiera de la recta tienes la ecuación de la recta proyectada.
Luego, para el área tienes que ver las intersecciones con ejes y planos; ahora mismo no sé, porque hay que hacerlo o dibujarlo y no lo he hecho.

Saludos.

[Julio_fmat]

Hola feriva, como estas. Ah, y cómo podría plantear la ecuación? Gracias.

[feriva]

Hola feriva, como estas. Ah, y cómo podría plantear la ecuación? Gracias.

Hola. Yo estoy bien, voy tirando; espero que tú también.

Pues si la proyección es sobre el plano XY haces z=0 en la ecuación y obtienes la coordenada para “y” del punto proyectado; la coordenada “x” es libre. Así puedes elegir dos puntos, hallar el vector director... y con eso puedes construir la ecuación vectorial; y luego pasarla a cartesianas o lo que quieras.

Eso suponiendo que la ecuación hubiera estado bien y se entendiera que \( x=\lambda \); pero no había comprobado nada. Ya lo ha mirado Luis.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( \pi_1: x+2y-3z+2=0 \) y \( \pi_2: -x+z=0 \).

a) Hallar la proyección ortogonal de la recta \( L \), que es intersección de \( \pi_1 \) con \( \pi_2 \) sobre el plano coordenado \( XY. \)

b) Hallar el área del triángulo que dicha proyección forma con los ejes \( X \) e \( Y. \)

Gracias

Hola, hice un intento para el ítem a).

Se tiene que \( \pi_1 \cap \pi_2: y-z+1=0. \)

Pero eso no es una recta; es otro plano. Para intersecar los planos debes de resolver el sistema que forman sus ecuaciones:

\( x+2y-3z+2=0 \)
\( -x+z=0 \)

en función de un parámetro. De la última ecuación \( x=z \) y de la primera \( y=(3z-x-2)/2=z-1 \). Por tanto llamando \( z=\lambda \) las paramétricas de la recta intersección son:

\( x=\lambda,\quad y=\color{red}\lambda-1\color{black},\quad z=\lambda \)

o las vectoriales:

\( (x,y,z)=(0,-1,0)+\lambda(1,\color{red}1\color{black},1) \)

Ahora proyectar ortogonalmente sobre el plano \( XY \) nos más que "olvidarse" de la coordenada \( z \), porque dado un punto  \( (x,y,z) \) su diferencia con \( (x,y,0) \) es el vector \( (0,0,z) \) ortogonal al plano \( XY \).

Por tanto la recta proyectada tiene por ecuación vectorial:

\( (x,y)=(0,-1)+\lambda(1,\color{red}1\color{black}) \)

Continúa...

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual)

[ani_pascual]

...
De la última ecuación \( x=z \) y de la primera \( y=(3z-x-2)/2=z-1 \). Por tanto llamando \( z=\lambda \) las paramétricas de la recta intersección son:

\( x=\lambda,\quad y=\textcolor{red}{2}\lambda-1,\quad z=\lambda \)

o las vectoriales:

\( (x,y,z)=(0,-1,0)+\lambda(1,\textcolor{red}{2},1) \)

Ahora proyectar ortogonalmente sobre el plano \( XY \) nos más que "olvidarse" de la coordenada \( z \), porque dado un punto  \( (x,y,z) \) su diferencia con \( (x,y,0) \) es el vector \( (0,0,z) \) ortogonal al plano \( XY \).

Por tanto la recta proyectada tiene por ecuación vectorial:

\( (x,y)=(0,-1)+\lambda(1,\textcolor{red}{2}) \)

Creo que hay una errata, donde pones \( 2 \) ¿no ha de ser \( 1 \)?
Saludos

[Julio_fmat]

...
De la última ecuación \( x=z \) y de la primera \( y=(3z-x-2)/2=z-1 \). Por tanto llamando \( z=\lambda \) las paramétricas de la recta intersección son:

\( x=\lambda,\quad y=\textcolor{red}{2}\lambda-1,\quad z=\lambda \)

o las vectoriales:

\( (x,y,z)=(0,-1,0)+\lambda(1,\textcolor{red}{2},1) \)

Ahora proyectar ortogonalmente sobre el plano \( XY \) nos más que "olvidarse" de la coordenada \( z \), porque dado un punto  \( (x,y,z) \) su diferencia con \( (x,y,0) \) es el vector \( (0,0,z) \) ortogonal al plano \( XY \).

Por tanto la recta proyectada tiene por ecuación vectorial:

\( (x,y)=(0,-1)+\lambda(1,\textcolor{red}{2}) \)

Creo que hay una errata, donde pones \( 2 \) ¿no ha de ser \( 1 \)?
Saludos

Muchas gracias Luis, sí creo que fue una errata.

Tengo una duda con el ítem b), el área pedida es \( 1/5 \) o \( 1/2 \)? Como lo puedo resolver?

[ani_pascual]

Hola:

...
Tengo una duda con el ítem b), el área pedida es \( 1/5 \) o \( 1/2 \)? Como lo puedo resolver?

No se cómo te propondrá Luis Fuentes , pero en mi opinión, la recta proyección viene dada en forma explícita por
\( y=x-1 \).
Los puntos de corte con los ejes coordenados son
\( \textcolor{red}{(0,-1)},(1,0) \) y el otro vértice es el origen \( (0,0) \). Así pues, el área del triángulo es \( S=\dfrac{1}{2}\,\,u^2 \)
Saludos
Errata corregida

[feriva]

Tengo una duda con el ítem b), el área pedida es \( 1/5 \) o \( 1/2 \)? Como lo puedo resolver?

Para resolverlo, primero tienes que tener claro el “dibujo” mental (los numeritos son lo de menos, eso es muy fácil). Piensa en una recta volando en una habitación (con la orientación que sea). Esta recta proyecta su “sombra” en el “suelo” (plano XY): es decir, todos sus puntos “bajan” e intersectan con el plano XY.

Pero, además, como te piden el área del triángulo formado por la recta y su intersección con los ejes X e Y (no me fijé en qué área te pedían) pues tendrá que estar orientada de manera que la “sombra” se corte con las “paredes” de la habitación (y no puede ser como esa ecuación que tú sacaste, que además de ser de un plano si no añades x=lambda, tampoco puede ser la recta porque no se puede formar un triángulo con los ejes, al ser la recta proyección paralela al eje X).

Por tanto, la recta proyectada tendrá un punto en común con el eje X y otro con el eje Y. Así pues, tomas la ecuación de la recta del eje X en el plano XY (es la recta de ecuación y=0, donde se sobreentiende que x queda libre para tomar valores) y buscas un punto común; formando un sistema con la ecuación de esa recta y la de la proyección. Después, lo mismo con la recta del eje “Y”, que es x=0.

Y ya, con el origen de coordenadas del plano, tienes tres puntos y puedes hallar las distancias y, en consecuencia, el área (esta es la idea en general en un problema así, con esas ecuaciones u otras).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

...
Tengo una duda con el ítem b), el área pedida es \( 1/5 \) o \( 1/2 \)? Como lo puedo resolver?

No se cómo te propondrá Luis Fuentes , pero en mi opinión, la recta proyección viene dada en forma explícita por
\( y=x-1 \).
Los puntos de corte con los ejes coordenados son
\( \textcolor{red}{(0,-1)},(1,0) \) y el otro vértice es el origen \( (0,0) \). Así pues, el área del triángulo es \( S=\dfrac{1}{2}\,\,u^2 \)

Si. Para pasar de paramétricas a explícitas elimina parámetros de:

\( (x,y)=(0,-1)+\lambda(1,\color{red}1\color{black}) \)

Tienes:

\( (x,y)=(\lambda,\lambda-1) \)

de donde \( x=\lambda \), \( y=\lambda-1=x-1 \).

Saludos.