Hola
Hola, necesito ayuda para resolver el siguiente problema, no se que herramientas debo usar.
Para \[ \bar{a},\bar{b}\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \] con \[ b> 0 \] y \[ p \] primo, definamos \[ \bar{a}^{\bar{b}}:= \bar{a^{b}} \]. ¿Es una operación bien definida? Justifique.
Tienes que estudiar si es cierto que si:
\( \bar a=\bar a' \) es decir \( a-a'=kp \)
y
\( \bar b=\bar b' \) es decir \( b-b'=np \)
Entonces:
\( \overline{a^b}=\overline{(a')^{b'}} \) es decir \( a^b-(a')^{b'}=mp \) para algún entero \( m \)
Equivale a comprobar que:
1) Si \( \bar a=\bar a' \) es decir \( a-a'=kp \), entonces, \( \overline{a^b}=\overline{(a')^b} \) es decir \( a^b-(a')^{b}=mp \) para algún entero
Spoiler
Esto es inmediato que es cierto si ya has probado que \( \Bbb Z/p\Bbb Z \) es un anillo, en particular que el producto \( \bar x\cdot \bar y=\overline{xy} \) está bien definido.
2) Si \( \bar b=\bar b' \) es decir \( b-b'=np \), entonces, \( \overline{a^b}=\overline{a^{b'}} \) es decir \( a^b-a^{b'}=mp \) para algún entero
Ahora bien, ¿qué pasa por ejemplo si \( p=3 \), \( a=2 \), \( b=1 \) y \( b'=4 \)?.
Saludos.
