[ferr]

Hola
Tengo complicaciones para hacer este ejercicio, agradecería si alguien me puede ayudar:

Sea \( f\colon[0,1]\to\Bbb R \) la función definida por:

\( f(x)=\left\lbrace\begin{aligned}&x\quad x\notin\Bbb Q,\\&1\quad x\in\Bbb Q.\end{aligned}\right. \)

(a) Dada una partición \( P \) cualquiera del intervalo \( [0,1] \), determine la suma inferior y superior de \( f \) asociada a la partición.

(b) Demuestre que \( \underline{S}(f,P)\leq\frac12 \), para cualquier partición.

(c) Explique porqué \( f \) no es integrable en el intervalo \( [0,1] \).

Saludos

Muchas gracias
Mensaje corregido desde la administración.

[Fernando Revilla]

    Sería interesante que proporcionaras retroalimentación a las ayudas que te ofrecieron aquí

        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126281.msg516619#msg516619

[manooooh]

Hola

Hola
Tengo complicaciones para hacer este ejercicio, agradecería si alguien me puede ayudar

Muchas gracias

Transcribo la imagen para una mejor lectura:

Sea \( f\colon[0,1]\to\Bbb R \) la función definida por:

\( f(x)=\left\lbrace\begin{aligned}&x\quad x\notin\Bbb Q,\\&1\quad x\in\Bbb Q.\end{aligned}\right. \)

(a) Dada una partición \( P \) cualquiera del intervalo \( [0,1] \), determine la suma inferior y superior de \( f \) asociada a la partición.

(b) Demuestre que \( \underline{S}(f,P)\leq\frac12 \), para cualquier partición.

(c) Explique porqué \( f \) no es integrable en el intervalo \( [0,1] \).

Saludos

[ferr]

Gracias por reescribirlo.
Por favor, si me pueden ayudar con el ejercicio...

[Juan Pablo Sancho]

Las sumas inferiores de una partición te darán \( \displaystyle \sum_{k=1}^n m_i \cdot (x_{i+1}-x_i)  \) donde \( m_i = inf\{f(x) | x \in [x_i , x_{i+1}]\} = x_i  \) luego:
\( \displaystyle \sum_{k=1}^n m_i \cdot (x_{i+1}-x_i) = \sum_{k=1}^n x_i \cdot (x_{i+1}-x_i)  \) es la suma inferior.
La superior te dará para cualquier partición uno.

Como \( \displaystyle \sum_{k=1}^n m_i \cdot (x_{i+1}-x_i)  \) es suma de las áreas de los rectángulos que están por debajo de la gráfica \( g(x) = x \) y esta tiene como área \( \dfrac{1}{2}  \) tenemos que las sumas inferiores siempre son menores que \( \dfrac{1}{2}  \)

Luego para  toda partición \( P \) tenemos \( \overline{S}(f,P) - \underline{S}(f,P) > \dfrac{1}{2}  \)

[ferr]

Muchas gracias!!