[petras]

Dada la gráfica,\(  N(-5;0) \) y \( NY=YL \). Calcula las coordenadas de \( P \). (R:\( (2,4) \)

[Luis Fuentes]

Hola



 Dado que \( AON \) es un triángulo rectángulo con un ángulo de \( 45^o \) es isósceles y \( A=(0,5) \).

 Dado que \( Y \) el punto medio de \( NL \) entonces \( NYO \) es isósceles y:

 \( \widehat{POA}=\widehat{YOL}=90^o-\widehat{NOY}=90^o-\dfrac{180^o-53^o}{2}=26.5^o \)

 En el triángulo \( AOP \), \( PO=OA\cdot cos(26.5^o)=5cos(26.5^o) \)

 Finalmente:

\( P=OP\cdot (sin(26.5^o),cos(26.5ô))=5(sin(26.5^o)cos(26.5^o),cos^2(26.5^o))=5(sin(53^o)/2,(1+cos(53^o))/2) \)

 Aproximando:

\(  sin(53^o)\approx 4/5,\qquad cos(53^o)\approx 3/5 \)

\( P=5(2/5,4/5)=(2,4) \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:
He visto que se ha adelantado Luis Fuentes 

Tras hacer unos cálculos que detallo en el spoiler, llego a \( P(1'996588775, 4'004537557) \)

Spoiler

Llamando \( \alpha=\widehat{NOY},\beta=\widehat{ONY} \) se tiene que \( \widehat{OLY}=90^{\circ}-\beta, \widehat{LOY}=90^{\circ}-\alpha \).
Es claro que \( \overline{NO}=5 \); Por el teorema del seno en los triángulos \( \triangle{NOY}, \triangle{LOY} \) se tiene que \( \dfrac{\overline{OY}}{\sen\beta}=\dfrac{\overline{NY}}{\sen\alpha} \) y \( \dfrac{\overline{OY}}{\sen(90^{\circ}-\beta)}=\dfrac{\overline{YL}}{\sen (90^{\circ}-\alpha)} \), y como \( \overline{NY}=\overline{YL} \), se tiene que \( \dfrac{\overline{OY}}{\sen\beta}=\dfrac{\overline{NY}}{\sen\alpha} \) y \( \dfrac{\overline{OY}}{\cos\beta}=\dfrac{\overline{NY}}{\cos\alpha} \) de donde \( \tan \alpha=\tan\beta \) y, por tanto, \( \alpha=\beta \). Por otro lado, \( \alpha+\beta=127^{\circ} \), luego \( \alpha=\beta=63,5^{\circ} \). Usando el cuadrilátero \( APNY \) se prueba que el ángulo \( \widehat{OAP}=\alpha=\beta \). Finalmente, en el triángulo rectángulo \( \triangle{OAP} \), se tiene que \( \overline{AP}=5\cos \alpha=2,230989066 \) y \( \overline{OP}=5\sen\alpha=4,474671808 \), y así se calculan las coordenadas del punto \( P(x,y) \) mediante el teorema del cateto y de la altura. \( \left\{\begin{array}{l}x^2=m\cdot (5-m)\\\overline{AP}^2=5m\\\overline{OP}^2=5(5-m)\end{array}\right.\Longrightarrow \boxed{x=1,996588775}, \,y=x\tan 63,5^{\circ}\Longleftrightarrow \boxed{y=4,004537558} \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Agradecido a todos

[petras]

Realicé otra solución sin usar trigonometría, usando similitud entre triángulos. Trazando la perpendicular por \( Y \) con relación al eje \( y \) y formando el triángulo \( OYF \), similar al triángulo \( OAP \) y trazando la perpendicular por \( P \) al eje \( x \) en \( G \), formando el triángulo \( OPG \), similar al triángulo \( YOF \), con \( Y = ( -2,5,- 5 \)). y utilizando las similitudes \( PO, PG \) y \( OG \).

[Luis Fuentes]

Hola

Realicé otra solución sin usar trigonometría, usando similitud entre triángulos.

En todo caso, casi sin usar trigonometría. Si un dato es el ángulo \( 53^o \) estás usando las razones trigonométricas (y además de manera aproximada) de ese ángulo.

Por otra parte cualquier fórmula trigonométrica esconde una semejanza de triángulos.

Saludos.

[petras]

Hola

Realicé otra solución sin usar trigonometría, usando similitud entre triángulos.

En todo caso, casi sin usar trigonometría. Si un dato es el ángulo \( 53^o \) estás usando las razones trigonométricas (y además de manera aproximada) de ese ángulo.

Por otra parte cualquier fórmula trigonométrica esconde una semejanza de triángulos.

Saludos.

Sí, tienes razón, solo quise publicar otra forma con solo similitudes notables y triángulos rectángulos.
Para que quienes lean el problema tengan otra idea de solución.

Saludos