Hola
Voy a mostrar un análisis en la que creo, se ve con claridad la ortogonalidad del gradiente a la superficie de nivel.
Se tiene un campo escalar f diferenciable, en el espacio :
\( f:R^3\rightarrow{R} \)
\( \ (x,y,z)\rightarrow{f(x,y,z)} \)
Se tiene una superficie, imagen de un campo vectorial g diferenciable :
\( g:A\subset{R^2}\rightarrow{R^3} \)
\( \ (x,y)\rightarrow{g(x,y)=(g_1(x,y),g_2(x,y),g_3(x,y))} \)
de tal manera que la compuesta \( h=f\circ{g} \) es una función constante c
\( h=f\circ{g}:A\subset{R^2}\rightarrow{R} \)
\( \ \ (x,y)\rightarrow{h(x,y)=f(g_1(x,y),g_2(x,y),g_3(x,y))=c} \)
La imagen de g es una superficie de nivel, por que el valor del campo escalar f adopta un valor constante.
Existe una relación entre los jacobianos de una composición de funciones :
\( J(h)=J(f)\cdot{J(g)} \)
Desarrollando :
\( (D_xh(x,y) \ \ \ D_yh(x,y))=(D_xf(g(x,y)) \ \ \ D_yf(g(x,y)) \ \ \ D_zf(g(x,y))) \ \ \begin{bmatrix}{D_xg_1(x,y)}&{D_yg_1(x,y)}\\{D_xg_2(x,y)}&{D_yg_2(x,y)}\\{D_xg_3(x,y)}&{D_yg_3(x,y)}\end{bmatrix} \)
Desarrollando y teniendo en cuenta que las derivadas parciales de h son nulas por ser la función constante se tiene :
\( 0=\nabla f(g(x,y))\cdot{(D_xg_1(x,y) \ \ \ D_xg_2(x,y) \ \ \ D_xg_3(x,y))} \)
\( 0=\nabla f(g(x,y))\cdot{(D_yg_1(x,y) \ \ \ D_yg_2(x,y) \ \ \ D_yg_3(x,y))} \)
Se ve que el gradiente de f en un punto de la superficie \( g(x,y) \) es ortogonal a los vectores directores de las rectas tangentes a la superficie en las direcciones x e y, luego es ortogonal al plano tangente a la superficie en el punto \( g(x,y) \) en consecuencia es ortogonal a la superficie en el punto \( g(x,y) \). Semejante con las curvas de nivel, espero haberte ayudado en algo.
Saludos
