Buenas a tod@s,
Estoy tratando de encontrar la demostración del siguiente resultado sin mucho éxito. Según entiendo, utilizando el teorema de la convergencia dominada debería poder demostrarse, pero no tengo claro como.
Agradezco cualquier ayuda.
Corolario TCD
Sea \( E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^n) \ (\mathcal{M}= \sigma\text{-álgebra de Lebesgue en }\mathbb{R}^n) \ , f_k:E\mapsto \mathbb{R} \) medible t.q. \( \exists f(x)=\sum_{k=1}^\infty f_k (x) \ \forall x \in E \).
Si además \( \sum_{k=1}^\infty\int_E |f_k(x)|dx<+\infty \Longrightarrow \int_E f= \int_E \sum_{k=1}^\infty f_k=\sum_{k=1}^\infty\int_E f_k \).
Aquí lo importante es observar que \( h:=\sum_{k=1}^\infty |f_k| \) es integrable ya que si definimos \( h_n:=\sum_{k=1}^n |f_k| \) entonces \( \{h_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es una sucesión creciente de funciones medibles y no-negativas, y que por tanto converge puntualmente a \( h \), que es una función que toma valores en \( \mathbb{R}\cup \{+\infty \} \). Entonces el teorema de convergencia monótona implica que
\( \displaystyle{
\sum_{k=1}^{\infty }\int |f_k|\,d \lambda =\lim_{n\to \infty }\sum_{k=1}^n \int |f_k|\,d \lambda =\lim_{n\to \infty }\int h_n \,d \lambda =\int h\,d \lambda <+\infty
} \)
Ahora si defines \( g_n:=\sum_{k=1}^n f_k \) y \( g:=\sum_{k=1}^\infty f_k \) entonces tienes que \( |g_n|\leqslant h \) para todo \( n \) y que \( g_n\to g \) puntualmente, por tanto ya puedes aplicar el teorema de convergencia dominada.
