Mi idea ha sido definir la relación de equivalencia obvia para intentar identificar todos los puntos con igual imagen:
Dados \( x, y \in [0, 1] \) definimos \( x \sim y \) si, y solo si, \( \alpha|_{[\min\{x,y\}, \max\{x,y\}]} \) es constante.
Entonces, podemos definir \( \alpha': [0, 1]/\sim \rightarrow X \) como \( \alpha'([t]) = \alpha(t) \) (donde \( [t] \) es la clase de equivalencia de \( t \in [0, 1] \), las cuales siempre serán intervalos cerrados) y estará bien definida y es continua. Ahora, si no me equivoco, \( [0, 1]/\sim \) es homeomorfo a \( [0,1] \) siendo además el homeomorfismo estrictamente creciente para un orden obvio en el cociente (el que se establece
aquí, donde al partir de un isomorfismo ordenado y construir el homeomorfismo por un paso al límite mediante sucesiones crecientes, creo que se obtiene una función creciente, la cual por ser un homeomorfismo será estrictamente creciente). Existe entonces \( g:[0, 1] \rightarrow [0,1]/\sim \) un homeomorfismo estrictamente creciente y además se tiene que la aplicación cociente \( q: [0,1] \rightarrow [0,1]/\sim \) es no decreciente para este orden sobre el cociente.
Con todo, podemos definir \( f:[0,1] \rightarrow [0,1] \) como \( f=g^{-1} \circ q \), que será continua, sobreyectiva y no decreciente y \( \beta: [0,1] \rightarrow X \) como \( \beta=\alpha' \circ g \), que será continua y cumplirá claramente que \( \alpha=\beta \circ f \). Además, \( \beta \) satisface lo deseado para los intervalos.
Si fuera \( \beta|_{[a, b]} \) constante en algún intervalo \( [a,b] \subset [0,1] \), entonces tenemos que \( \alpha'(g(t)) = A \) (con \( A \) un elemento fijo de \( X \)) para cada \( t \in [a,b] \). Como \( g \) es un orden-isomorfismo, se tiene que \( g([a,b])=[g(a), g(b)] \) y denotemos \( g(a)=[t_1, t_2] \) y \( g(b)=[s_1, s_2] \). Tenemos entonces que \( t_1 < s_2 \) (al ser \( g(a) < g(b) \) por el orden inducido en el cociente) y que para cualquier \( t \) en \( [t_1, s_2] \) se cumple que \( [t] \) está en \( [g(a), g(b)] \), con lo que \( \alpha(t)=\alpha'([t])=A \). Por tanto, \( \alpha|_{[t_1, s_2]} = A \), luego \( t_1 \sim s_2 \), es decir, \( g(a) = [t_1] = [s_2] = g(b) \) y esto es una contradicción.
