[Meedina]

Hola, mi duda es la siguiente:
Me dan la siguiente función \( f(x,y)=\frac{2x}{x-y} \) y me piden calcular la derivada direccional en el punto P(1,0) con dirección \( (1,\sqrt 3) \).
En mis apuntes tengo las siguientes fórmulas: \( \vec{Du}f(a,b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+u_1h,b+u_2h)-f(a,b)}{h} \) y la fórmula de las derivadas parciales por la definición \( f_x(a,b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} \) y \( f_y(a,b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a,b+b)-f(a,b)}{h} \) y luego me dice que si f es diferenciable en P(a,b): \( \vec{D_u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \vec{u} \). Para que sea diferenciable en (a,b) \( \in R^2 \) si existe \( \nabla f(a,b) \) y me da la siguiente fórmula:  \( \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y)-f(a,b)-\nabla f(a,b)(x-a,y-b)}{||(x-a,y-b)||} \) y también me dice que si las derivadas parciales en el punto existen y son continuas entonces f(x,y) es diferenciable en (a,b).

Entonces mi duda es cuando puedo aplicar directamente esto \( \vec{D_u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \vec{u} \).Es decir no entiendo muy bien cuando debo hacer todo por la definición o cuando usar el "atajo". Es decir si yo calculo las derivadas parciales y obtengo su valor en el puto (1,0) y me dan un valor finito es que existen y luego debería ver si son continuas calculando f(1,0) y deberia ser igual a los límites laterales de f(x) cuando tiende a (1,0) por derecha e izquierda o como??
(El ejercicio lo he resuelto y me da bien, pero quiero entender cuando debo usar una cosa u otra)

[delmar]

Hola

Para que esto \( \vec{D_u}(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot{\vec{u}} \) sea cierto, f ha de ser diferenciable en (a,b)¿Cómo saber que f es diferenciable en (a,b)? Hay dos maneras :

1) Ha de existir el \( \nabla f(a,b) \) y \( \displaystyle\lim_{\vec{v}  \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{f((a,b)+\vec{v})-f(a,b)- \nabla f(a,b)\cdot{\vec{v}} }{\left\|{v}\right\|}}=0 \) ee una manera equivalente a la que te han puesto, con el detalle que hay un error tipográfico en lugar de \( h\rightarrow{0} \) es \( (x-a,y-b)\rightarrow{(0,0)} \), veo más sencilla la forma que he puesto.

2)Que existan las derivadas parciales en un entorno de (a,b) y sean continuas.

En este problema se pueden calcular con sencillez las derivadas parciales en un entorno por haber una fórmula explícita en un entorno de (1,0) y son \( f_x(x,y)=\displaystyle\frac{-2y}{(x-y)^2} \) derivada de un cociente, \( f_y(x,y)=\displaystyle\frac{2x}{(x-y)^2} \) la pregunta es ¿son continuas las derivadas parciales en un entorno de (1,0)? y ¿Por qué? respondiendo a estas interrogantes puedes sacar una conclusión.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces mi duda es cuando puedo aplicar directamente esto \( \vec{D_u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot \vec{u} \).Es decir no entiendo muy bien cuando debo hacer todo por la definición o cuando usar el "atajo". Es decir si yo calculo las derivadas parciales y obtengo su valor en el punto (1,0) y me dan un valor finito es que existen y luego debería ver si son continuas calculando f(1,0) y deberia ser igual a los límites laterales de f(x) cuando tiende a (1,0) por derecha e izquierda o como??
(El ejercicio lo he resuelto y me da bien, pero quiero entender cuando debo usar una cosa u otra)

Como te dice delmar esa fórmula puede usarse si la función es diferenciable en el punto donde evaluamos la derivada direccional.

Ahora bien hay otra alternativa para comprobar la diferenciabilidad y, una vez que uno ha dado la teoría que la sustenta, es la más práctica  y rápida.

Basta usar que la suma, producto, cociente (si el denominador no se anula), composición de funciones diferenciables es diferenciable y luego que las funciones elementales (polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas) son diferenciables.

En tu caso \( 2x,x-y \) son funciones polinómicas y por tanto diferenciables en todo punto. Por tanto su cociente (fuera de los puntos donde \( x-y=0 \), en los que no existe) también es diferenciable. Eso garantiza la diferenciablidad en \( (1,0) \) y poder aplicar la fórmula del gradiente.

Saludos.

[ani_pascual]

...
1) Ha de existir el \( \nabla f(a,b) \) y \( \displaystyle\lim_{\vec{v}  \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{f((a,b)+\vec{v})-f(a,b)- \nabla f(a,b)\cdot{\vec{v}} }{\left\|{v}\right\|}} \) ee una manera equivalente a la que te han puesto, con el detalle que hay un error tipográfico en lugar de \( h\rightarrow{0} \) es \( (x-a,y-b)\rightarrow{(0,0)} \), veo más sencilla la forma que he puesto.

¿No falta algo en esa fórmula? 

Saludos

[delmar]

Claro que sí, ani_pascual el límite ha de ser igual a cero, error tipográfico, ya lo corregí. Igualmente para lo que ha puesto Meedina, el límite ha de ser igual a cero.

Saludos

[Meedina]

Hola

Para que esto \( \vec{D_u}(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot{\vec{u}} \) sea cierto, f ha de ser diferenciable en (a,b)¿Cómo saber que f es diferenciable en (a,b)? Hay dos maneras :

1) Ha de existir el \( \nabla f(a,b) \) y \( \displaystyle\lim_{\vec{v}  \to{}(0,0)}{\displaystyle\frac{f((a,b)+\vec{v})-f(a,b)- \nabla f(a,b)\cdot{\vec{v}} }{\left\|{v}\right\|}}=0 \) ee una manera equivalente a la que te han puesto, con el detalle que hay un error tipográfico en lugar de \( h\rightarrow{0} \) es \( (x-a,y-b)\rightarrow{(0,0)} \), veo más sencilla la forma que he puesto.

2)Que existan las derivadas parciales en un entorno de (a,b) y sean continuas.

En este problema se pueden calcular con sencillez las derivadas parciales en un entorno por haber una fórmula explícita en un entorno de (1,0) y son \( f_x(x,y)=\displaystyle\frac{-2y}{(x-y)^2} \) derivada de un cociente, \( f_y(x,y)=\displaystyle\frac{2x}{(x-y)^2} \) la pregunta es ¿son continuas las derivadas parciales en un entorno de (1,0)? y ¿Por qué? respondiendo a estas interrogantes puedes sacar una conclusión.


Saludos

Y como comprobaría la continuidad de las derivadas parciales?? haciendo limites laterales de cada una cuando tienden al punto (1,0) y calculando f(1,0) y si coinciden es continua o como? Gracias!

[Meedina]

También tengo la duda de cuando debo hacer las derivadas parciales por la definición o cuando puedo hacerlas directamente. La definición cuando estoy trabajado con funciones a trozos sería solo?

[delmar]

Hay que tener en cuenta que la suma, producto, cociente (cuando no se anula el denomnador) y composición de funciones continuas es  continua, para mencionar algunas funciones continuas conocidas se tiene  x, y, polinómicas de dos variables, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas son funciones continuas. En este caso \( f_x(x,y)=\displaystyle\frac{-2y}{(x-y)^2} \) se trata del cociente de dos funciones continuas en un entorno de (1,0), el numerador es el producto por un escalar -2 de la función de dos variables, x; por ser esta última continua entonces -2x es continua; el denominador es una función polinómica de dos variables (sumas productos de funciones continuas) entonces es continua y no se anula en un entorno adecuado de (1,0). Por lo tanto \( f_x(x,y) \) es continua en un entorno de (1,0). Verifica para la otra derivada. Es conveniente también entiendas lo que dijo Luis Fuentes una manera muy directa la función original es \( f(x,y)=\displaystyle\frac{2x}{x-y} \) y tanto el numerador como el denominador son funciones diferenciables en un entorno de (1,0) el cociente también lo es; en consecuencia f(x,y) es diferenciable en un entorno y también en (1,0)


Saludos

[delmar]

Las derivadas parciales se hallan por definición, cuando la función que te dan f(x,y) adopta otra forma en el punto (a,b) 
Un ejemplo sería :

\( f(x,y)=\displaystyle\frac{2x}{(x-y)} \) si \( (x,y)\neq (1,0) \) expresión de la función en el entorno.

\( f(1,0)=k, \ \ k\neq 2 \) este valor difiere al valor que daría  la  expresión de la función en el entorno, difiere de 2


Saludos