Entonces, ¿por qué "atacamos" el límite en direccionales con otras direcciones no rectas, tales como curvas cuadráticas y cúbicas... Si basta hacerlo en todas las direcciones rectas?
No basta hacerlo en todas las direcciones rectas. Hay que tomar límites con todas las curvas posibles. Lo que pasa es que, como te decía antes, si tomas polares y demuestras que para valores de \( r \) cercanos a cero el valor del ángulo es irrelevante, entonces estás demostrando que, tomando cualquier curva que tomes hacia cero, el valor de la función está acotado por \( r \).
Un ejemplo, supón que tienes esta función:
\( \displaystyle{
f(x,y):=\begin{cases}
\frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2},&\text{ cuando }(x,y)\neq (0,0)\\
0,&\text{ otra cosa }
\end{cases}
} \)
y quieres ver si la función es continua. Entonces tienes que ver si existe el límite cuando \( (x,y)\to (0,0) \), y en caso de que exista, que coincida con el valor que toma allí la función. Entonces usando coordenadas polares tenemos que
\( \displaystyle{
\left| \frac{2x^3-y^3}{x^2+y^2} \right|=r|2\cos ^3 \theta - \operatorname{sen}^3 \theta |\leqslant 3r
} \)
Observa que la cota \( 3r \) nos permita demostrar que, independientemente del valor de \( \theta \), la expresión converge a cero, luego \( f \) es continua. No es que se estén tomando "líneas rectas" sino demostrando que da igual la curva que tomes que el valor converge a cero.
¿Por qué no simplemente hacerlo en las direcciones rectas de los límites direccionales?
Porque eso no demuestra que exista el límite. Hay ejemplos de esto, luego con más tiempo busco alguno por ahí y lo posteo para que lo veas.
Añadido: como contraejemplo considera la función
\( \displaystyle{
g(x,y):=\frac{xy^4}{x^2+y^8},\quad \text{ si }(x,y)\neq 0
} \)
Pasando a polares te queda la expresión
\( \displaystyle{
\frac{r^3\cos\theta\sin^4\theta}{\cos^2\theta+r^6\sin^8\theta}
} \)
la cual es fácil de comprobar que, para cualquier cualquier valor fijo de \( \theta \) que tomemos, converge a cero cuando \( r\to 0^+ \). Sin embargo el límite no existe, ya que de la expresión cartesiana podemos tomar el límite dado por la curva \( (t,0) \) o la curva \( (t^4,t) \), obteniendo dos valores distintos cuando \( t\to 0 \).
