Gracias por el paper, es una caracterización curiosa que no conocía. Además el paper es muy cortito y se entiende muy bien.
Definiendo \( R=\left\{x \, : \, x=\bar{x}\right\} \) y \( R^{+}=\left\{x \, : \, \exists{y}\,(y\not=0) \wedge (x=y\bar{y})\right\} \) se estipula una propiedad equivalente a la completitud topologica de \( \mathbb{R} \) para \( R \) pero sin apelar al orden debida a Veblen, subconjuntos que además permiten definir una relación de orden total en \( R \).
Bueno, no apela directamente al orden, pero sí implícitamente. Al final viene a ser equivalente a usar el truco de definir un real positivo como un cuadrado distinto de cero y definir \( x<y \) como \( x-y>0 \). Y la caracterización de la completitud ahora no es más que decir que dados dos subconjuntos \( A,B \subseteq R \) con \( a>b \) para todo \( a\in A, b\in B \) existe un \( c\in \Bbb R \) con \( a\geq c \geq b \) para todo \( a\in A, b \in B \).
Entiendo que la segunda y tercera caracteristicas "esconden" una apelación a los números reales, y que sin la quinta caracteristica se obtiene esencialmente un campo como \( \mathbb{R} \).
Sí en el sentido de que \( x \bar{x} \) es un "real" y \( x=\bar{x} \) implica que \( x \) es un "real". Pero para tener un su cuerpo isomorfo a los reales es crucial la condición de completitud, claro. Sin la condición de completitud podrías tener otros cuerpos que cumplieran los axiomas (como por ejemplo, el cuerpo de números algebraicos).
Si no impones que todo elemento sea un cuadrado la caracterización deja de ser única, y los axiomas los cumple tanto \( \Bbb R \) como \( \Bbb C \).
¿Estoy en lo correcto al afirmar esta última exigencia equivale a que todos los \( z \) en \( K \) tienen raíz cuadrada?
Sí.
¿No se puede debilitar esta última caracteristica para solo garantizar la unidad imaginaria, sin afectar la suficiencia de la caracterización?
Yo diría que sí.
¿Qué les parece esta caracterización? ¿Tendrá algún reparo?
Pues es una caracterización curiosa y no creo que tenga ningún reparo en especial. Otra cosa es que la caracterización sea muy útil disponiendo ya de la construcción usual de \( \Bbb R \) o \( \Bbb C \). Probablemente no sea muy útil, si no sería más conocida.
