[Guillobo]

¿Alguien me podría hacer la integral \( \int_{0}^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x \)?

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[Masacroso]

¿Alguien me podría hacer la integral \( \int_{0}^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x \)?

No sé si habrá una manera más elemental para resolver esta integral, seguramente sí pero yo no la conozco, pero una manera es utilizando el teorema de los residuos, primero notando que \( \int_{0}^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x=\frac1{2}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x \) y luego que si tomamos un contorno \( C \) en el plano complejo formado por media circunferencia arriba del eje de abscisas y una línea recta en el propio eje entonces queda que

\( \displaystyle{
\int_{0}^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x=\frac1{2}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x=\frac1{2}\int_{C}\frac{z^6}{{\color{red}{1+z^8}}}\,d z={\color{red}{\pi i \sum_{w\in \mathbb{H}}\operatorname{Res}\left(\frac{z^6}{1+z^8}, w\right)}}
} \)

ya que la integral en la semicircunferencia de \( C \) tiende a cero conforme el radio aumenta, donde \( \mathbb{H}:=\{z\in \mathbb{C}: \operatorname{Im}(z)>0\} \).

Corrección.

Spoiler

Me he entretenido un rato en hallar los residuos del integrando en \( \mathbb{H} \). Como \( 1+z^8=\prod_{k=0}^{7}(z-\omega_k) \) para \( \omega_k :=e^{i(2k+1)\pi/8} \) se sigue que

\( \displaystyle{
\frac{z^6}{1+z^8}=\sum_{k=0}^7 \frac{\tfrac1{8}\omega _k^{-1}}{z-\omega_k}=\frac1{8}\sum_{k=0}^7 \frac{\bar \omega _k}{z-\omega _k}
} \)

de la fórmula \( \frac{p}{q}=\sum_{k}\frac{p(a_k)/q'(a_k)}{z-a_k} \) para \( q=\prod_{k}(z-a_k) \) y \( a_j= a_k \Leftrightarrow j=k \). Por tanto

\( \displaystyle{
\int_{0}^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x=\frac{\pi i}8\sum_{k=0}^3 \bar \omega _k=\frac{\pi i}{8}(2i\operatorname{Im}(\bar \omega _0+\bar \omega _1))=\frac{\pi}{4}\operatorname{Im}(\omega _0+\omega _1)=\frac{\pi}{4\sqrt{2-\sqrt{2}}}
} \)

ya que es fácil de ver que \( \omega _0+\omega _1=\sqrt{2+2\operatorname{Re}(\omega _o\bar \omega _1)}e^{i\arg(\omega _0+\omega _1)}=\sqrt{2+\sqrt{2}}e^{i\pi/4}=\frac{1+i}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \).

[cerrar]

[Fernando Revilla]

¿Alguien me podría hacer la integral \( \int_{0}^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x \)?

Otra opción. La integral indefinida es profundamente desagradable. Sugiero descomponer \( \int_{0}^{+\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{+\infty} \). Para la primera haz el cambio \( t=x^8 \) para transformarla en una Beta de Euler y para la segunda, el cambio \( u=1/x \) para conseguir una \( \int_{0}^{1} \) y a su vez esta última en otra Beta de Euler.

[electron]

Alternativamente a lo que comentáis, hay otra vía curiosa:

Si hacemos el cambio \( u=\displaystyle\frac{1}{x} \), entonces \( du=-\displaystyle\frac{1}{x^2}dx=-u^2dx \) y la integral queda:

\( -\displaystyle\int_{\infty}^{0}\frac{\frac{1}{u^6}}{1+\frac{1}{u^8}}\frac{du}{u^2}=\int_{0}^{\infty}\frac{u^8du}{u^6(1+u^8)u^2}=\int_{0}^{\infty}\frac{du}{1+u^8} \)

Lo anterior implica que \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^6}{1+x^8}dx=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^8}dx \)

Este tipo de integrales se puede calcular de manera genérica por ejemplo mediante residuos:

https://math.stackexchange.com/questions/247866/show-that-int-0-infty-frac11xn-dx-frac-pi-n-sin-pi-n-wh

Por tanto, en nuestro caso el resultado es \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^6}{1+x^8}dx=\frac{\pi/8}{sen(\pi/8)} \)

Y ya por completar, se puede hallar el valor exacto de ese seno:

https://www.mathway.com/es/popular-problems/Trigonometry/311443

por lo que el resultado será \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^6}{1+x^8}dx=\frac{\pi}{4\sqrt[ ]{2-\sqrt[ ]{2}}} \)

Saludos

PD: para los sabios del foro: si intento poner las direcciones de Youtube con "youtube (entre corchetes)" me dice que "no es una dirección válida". ¿Cómo se puede solucionar? Gracias

[Guillobo]

Muchas gracias a todos por la ayuda

[Fernando Revilla]

... por lo que el resultado será \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^6}{1+x^8}dx=\frac{\pi}{4\sqrt[ ]{2-\sqrt[ ]{2}}} \)

 

Es fácil probar que \( \dfrac{\pi}{4\sqrt[ ]{2-\sqrt[ ]{2}}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}\;\pi \) lo cual implica que la "autista" WolframAlpha

   https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+%28x%5E6%2F%281%2Bx%5E8%29%29+dx+from+x%3D0+to+infinity&lang=es

la ha resuelto bien, porque le da lo mismo que a ti  .

[Fernando Revilla]

Por tanto
\( \displaystyle{
\int_{0}^{\infty }\frac{x^6}{1+x^8}\,d x=\frac{\pi i}8\sum_{k=0}^3 \bar \omega _k=\frac{\pi i}{8}(2i\operatorname{Im}(\bar \omega _0+\bar \omega _1))=\frac{\pi}{4}\operatorname{Im}(\omega _0+\omega _1)=\frac{\pi}{4\sqrt{2-\sqrt{2}}}
} \)

 

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