[0_kool]

hola buenas

Me apareció éste teorema y por esas cosas del día, no llego a demostrarlo, me echan una mano. Gracias



foto tomada de la red

[Luis Fuentes]

Hola



 Si trazas la paralela a \( CD \) por \( B \) tienes los triángulos semejantes \( PBF \) y \( ABE \) de donde:

\(  \dfrac{m+n}{b-a}=\dfrac{m}{x-a} \)

\( (m+n)(x-a)=m(b-a) \)

\( x(m+n)=mb-ma+am+an \)

\( x(m+n)=an+mb \)

\( \boxed{x=\dfrac{an+bm}{m+n}} \)

Saludos.

[0_kool]

No andaba lejos, pero no me salió así de fácil. 

Gracias por tu tiempo.

[ani_pascual]

Hola:
Otra forma:

\( \left\{\begin{array}{l}\dfrac{m}{y}=\dfrac{m+n}{z}\\\dfrac{m'}{y'}=\dfrac{m'+n'}{z'}\\\dfrac{n}{m}=\dfrac{n'}{m'}\end{array}\right.\Longrightarrow x=a+y+y'=a+\dfrac{mz}{m+n}+\dfrac{m'z'}{m'+n'}=a+\dfrac{mz}{m+n}+\dfrac{z'}{1+\dfrac{n'}{m'}}=\\ \qquad\qquad  \qquad \qquad\qquad \qquad=a+\dfrac{mz}{m+n}+\dfrac{z'}{1+\dfrac{n}{m}}=\dfrac{am+an+mz+mz'}{m+n}=\\\qquad\qquad  \qquad \qquad\qquad \qquad=\dfrac{am+an+m(z+z')}{m+n}=\dfrac{am+an+m(b-a)}{m+n}\Longleftrightarrow\boxed{x=\dfrac{an+bm}{m+n}} \)
Saludos