[Nub]

En este paso tienes un infinito dividido por infinito
\( \displaystyle \displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x}){}}{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}){}}  \)

El límite pasa al denominador y numerador si   existen ambos y el del denominador  es diferente de cero en los demás casos no (se podría extender un poco mas).

En general sacas como factor la función del numerador que tienda a infinito mas deprisa y lo mismo con el denominador y luego hay que estudiar lo que se puede hacer.

No entendi, yo quite la indeterminación, es cierto que en ese paso es indeterminado pero la quite

Sigo sin entender esto, pero creo que se puede arreglar
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{e^x+1}{x^3+2x+1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}{}*\displaystyle\frac{(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=+\infty \)

[Juan Pablo Sancho]

Sigo sin entender esto, pero creo que se puede arreglar
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{e^x+1}{x^3+2x+1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}{}*\displaystyle\frac{(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=+\infty \)

Como lo dejas queda claro que el límite es \( +\infty \) en el caso anterior quedaría \( \dfrac{+\infty}{+\infty} \).

[Nub]

Sigo sin entender esto, pero creo que se puede arreglar
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{e^x+1}{x^3+2x+1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{x^3(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}{}*\displaystyle\frac{(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{e^x}{x^3}{}*\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{(1+\displaystyle\frac{1}{e^x})}{(1+\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3})}{}=+\infty \)

Como lo dejas queda claro que el límite es \( +\infty \) en el caso anterior quedaría \( \dfrac{+\infty}{+\infty} \).

Y porque no puedo aplicar una propiedad para que no quede \( \infty / \infty \) ? puede que sea como que ya "esta calculado"

[Juan Pablo Sancho]

Pero lo hiciste  bien en el último mensaje, una cosa es notación poner \( \dfrac{+\infty}{+\infty} \) para decir que tanto el denominador como el numerador tienden a infinito y otra es escribir:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^3} = \dfrac{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^x}{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^3} = \dfrac{+\infty}{+\infty} \)

[Nub]

Entiendo, gracias a todos