[petras]

En un rectángulo \( ABCD  \) se marca en su interior un punto \( E \) y se construye un rectángulo \( DELK  \)congruente al anterior, \( m < CED=m < ECD, BE=CK, EL=4+2\sqrt3 \) y \( m < ELC=\dfrac{53^o}{2} \) .Calcular \( EC \).(R:\( 4 \))

[Pie]

No me da exacto pero diría que el razonamiento está bien (si es que entendi todo bien ):

Para que los lados de los dos rectángulos sean iguales el punto \( E \) tiene que estar en la circunferencia de radio \( DC \) centrada en \( D \):



Y para que \( BE \) sea igual a \( CK \), \( E \) tiene que estar en el punto medio de \( DC \) (ya que si estuviera más abajo \( BE \) seria mayor a \( CK \) y si estuviera más arriba \( CK \) sería mayor a \( BE \)), por tanto \( EC = ED = DC \), con lo que el triángulo \( \triangle{DEC} \) es equilátero y \( \angle LEC = 30^o \).

Entonces por el teorema del seno:

\[ \dfrac{EC}{\sin(26.5^o)} = \dfrac{EL}{\sin(180^o - (26.5^o + 30^o))} \Longrightarrow  \]

\[ EC = \displaystyle\frac{\sin(26.5^o)(4+2\sqrt{3})}{\sin(123.5^o)} \approx{4}
 \]

Saludos.

[Pie]

Añado una demostración un poco más rigurosa de que \( E \) tiene que estar en el punto medio de \( DC \) y \( AB \) (por si no quedó clara esa parte):

Independientemente de dónde esté el punto \( E \) (siempre que esté en el cuarto de circunferencia, claro), se tiene que \( \angle ADE = \angle KDC \):



Ya que ambos ángulos serán igual a \( 90^o \) menos el arco \( EC \). Eso implica que \( \triangle{AED} \) y \( \triangle{DCK}  \) son congruentes (por el criterio LAL), y por tanto \( AE = CK \).

Entonces la única forma de que \( BE \) sea igual a \( CK \) es que \( BE = AE \), con lo que \( E \) tiene que estar en el punto medio de \( AB \) (y \( DC \)) por ser \( \triangle{ABE} \) isósceles..

[petras]

No me da exacto pero diría que el razonamiento está bien (si es que entendi todo bien ):

Para que los lados de los dos rectángulos sean iguales el punto \( E \) tiene que estar en la circunferencia de radio \( DC \) centrada en \( D \):



Y para que \( BE \) sea igual a \( CK \), \( E \) tiene que estar en el punto medio de \( DC \) (ya que si estuviera más abajo \( BE \) seria mayor a \( CK \) y si estuviera más arriba \( CK \) sería mayor a \( BE \)), por tanto \( EC = ED = DC \), con lo que el triángulo \( \triangle{DEC} \) es equilátero y \( \angle LEC = 30^o \).

Entonces por el teorema del seno:

\[ \dfrac{EC}{\sin(26.5^o)} = \dfrac{EL}{\sin(180^o - (26.5^o + 30^o))} \Longrightarrow  \]

\[ EC = \displaystyle\frac{\sin(26.5^o)(4+2\sqrt{3})}{\sin(123.5^o)} \approx{4}
 \]

Saludos.

Agradecido