[ancape]

Hola

Os propongo el siguiente problema. Sólo lo he podido resolver por métodos numéricos.

Los 3 cuadrados de la figura tienen lado 1. Calcular el área del triángulo ABC. (Sol. 0,2 obtenida por métodos numéricos y resolviendo una complicada ecuación con la ayuda de un ordenador)



Saludos

[Pie]

Spoiler

Tomando el punto \( E \) en \( (0,0) \), la ecuación de la recta \( EB \) es:

\( y = 2x \)

Y la de la recta \( AD \):

\( y = -\dfrac{x}{2} + 2 \)

Igualando:

\( 2x = -\dfrac{x}{2} + 2 \Rightarrow{} x =\dfrac{4}{5} \Rightarrow{} y = \dfrac{8}{5} \)

Por tanto la altura del triángulo es:

\( h = 2-\dfrac{8}{5} = \dfrac{2}{5} \)

Y el área:

\( A = \dfrac{h}{2} =\dfrac{1}{5} u^2 \)

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Os propongo el siguiente problema. Sólo lo he podido resolver por métodos numéricos.

Hola:

Spoiler

\( \triangle{BGH}\sim\triangle{BEF} \) y su razón de semejanza es \( \dfrac{1}{2} \); así pues, el área del triángulo \( \triangle{BGH}=\dfrac{1}{4} \). Por otra parte, \( \triangle{BCI}\sim\triangle{ABC} \) y su razón de semejanza es también \( \dfrac{1}{2} \); en efecto, \( \dfrac{\overline{BI}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\Longleftrightarrow \dfrac{\frac{1}{2}}{1}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{AC}} \). Por tanto, el área de \( \triangle{BCI}=\dfrac{1}{4}\cdot \mbox{ Área }\triangle{ABC} \) y como \(  \mbox{ Área }\triangle{BCI}+\mbox{ Área }\triangle{ABC}=\mbox{ Área }\triangle{ABI}=\mbox{ Área }\triangle{BGH}=\dfrac{1}{4} \) se tiene que \( \mbox{ Área }\triangle{ABC}=\dfrac{1}{5}=0,2\,u^2 \)

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Spoiler

Los triángulos \( ABC \) y \( ACE \) son semejantes, porque ambos son rectángulos y \( \widehat{EAB}=\widehat{CBE} \). La razón de semejanza es \( 2 \) porque las hipotenusas miden \( AB=1 \) y \( BE=1/2 \). Por tanto si \( x=area(ABC) \), entonces \( area(ACE)=x/4 \) y:

\( area(ABE)=\dfrac{1\cdot (1/2)}{2}=\dfrac{1}{4} \)

\( area(ABE)=area(ABC)+area(ACE)=x+\dfrac{x}{4}=\dfrac{5x}{4} \)

Igualando \( 5x/4=1/4 \) y \( x=1/5 \).

[cerrar]

Saludos.

P.D. Mientras escribía esto se adelantó ani_pascual y sospecho que lo hemos hecho igual.

[ani_pascual]

Hola;

P.D. Mientras escribía esto se adelantó ani_pascual y sospecho que lo hemos hecho igual.

Creo que sospechas bien, 
Saludos

[ani_pascual]

Spoiler

Tomando el punto \( E \) en \( (0,0) \), la ecuación de la recta \( EB \) es:

\( y = 2x \)

Y la de la recta \( AD \):

\( y = -\dfrac{x}{2} + 2 \)

Igualando:

\( 2x = -\dfrac{x}{2} + 2 \Rightarrow{} x =\dfrac{4}{5} \Rightarrow{} y = \dfrac{8}{5} \)

Por tanto la altura del triángulo es:

\( h = 2-\dfrac{8}{5} = \dfrac{2}{5} \)

Y el área:

\( A = \dfrac{h}{2} =\dfrac{1}{5} u^2 \)

[cerrar]

Saludos.

Hola:
 
Me ha gustado el método 
Saludos

[ancape]

Hola

Aunque casi me da vergüenza exponer el método que he empleado para resolver el problema, lo hago para que se vea la diferencia entre un método elegante (como el que emplea pie o los demás) y el ataque que emplea sólo artillería para conquistar una plaza.

Adjunto copia de pantalla de la resolución con Maple.



Saludos

[feriva]

Spoiler

El triángulo verde esta incrustado en el amarillo, con lo que es semejante; además, la altura del grande es 2 y la del pequeño 1, por lo que es la mitad para todos los lados. Del mismo modo, si tumbamos el dibujo tenemos lo mismo, el triángulo azul es congruente con el verde y también está incrustado en triángulo que es el doble.

Por otro lado, el área de medio cuadrado rectángulo es 1/4.

Con esto y a partir del dibujo que pongo vemos que nos salen estas ecuaciones

\( 1/4=\dfrac{h(1,118-k)}{2}+\dfrac{hk}{2} \)

\( h^{2}+k^{2}=(1/2)^{2} \)

Y a partir de ahí pues tendrán que salir los valores de h y k y quedará determinada el área del triángulo gris como

\( A=\dfrac{(1,118-k)}{2}h \).

[cerrar]

Saludos.

[feriva]

Hola

Aunque casi me da vergüenza exponer el método que he empleado para resolver el problema...

Ah, me extrañaba, por eso había dejado sin hacer las ecuaciones (ya las he hecho y sí me sale eso más o menos, 0,2000...) no estaba seguro al ver que lo podía resolver sólo con Pitágoras.

Feliz año.