Sin pérdida de generalidad, tomamos un cuadrado de lado \( 1 \) y el número obtenido (por probabilidad geométrica) será directamente nuestro resultado.
Aplicamos el Teorema del seno al triángulo y tenemos:
\( \displaystyle\frac{r}{sen(\pi-\alpha-\theta)}=\frac{r}{sen(\alpha+\theta)}=\frac{1}{sen\alpha} \)
\( rsen\alpha=sen\alpha cos\theta+cos\alpha sen\theta \)
\( sen\alpha(r-cos\theta)=cos\alpha sen\theta \)
\( tg\alpha=\displaystyle\frac{sen\theta}{r-cos\theta}<0 \) porque el ángulo \( \alpha>90^o \)
Por construcción \( sen\theta>0 \) (está en el primer cuadrante), luego debe cumplirse que \( r-cos\theta <0 \)
\( r<cos\theta=\displaystyle\frac{x}{r}\Longrightarrow{r^2<x} \); por tanto \( x^2+y^2<x \).
Tenemos pues la región del primer cuadrante \( y<\sqrt[ ]{x-x^2} \), que es en efecto un semicírculo de radio \( 1/2 \) centrado en \( (1/2,0) \), cuyo área es \( \displaystyle\frac{\pi (1/2)^2}{2}=\frac{\pi}{8} \).
