Hola
Sencillamente aplica la definición de integral de un campo escalar sobre una curva, en este caso el campo escalar es \( f(r, \theta) \) y la curva \( \gamma \) es la circunferencia de radio R , en consecuencia \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(\gamma (t))\left |{\gamma'(t)}\right | \ dt \), observa que la curva esta parametrizada, con parámetro t. La curva ha de parametrizarse de tal manera que el campo en ella quede expresado, también en función del mismo parámetro. Observa que f esta en función de las coordenadas polares de los puntos, en consecuencia la circunferencia hay que parametrizarla en coordenadas polares y un forma \( \gamma (\theta)=Rcos \theta \vec{i}+R sen \theta \vec{j} \) el parámetro es \( \theta \), R es una constante. Aplicando la definición se tiene :
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(\gamma (t))\left |{\gamma'(t)}\right | \ dt=\ \) Ec.1
Se tiene : \( \gamma'(\theta)=-R sen \theta \vec{i}+R cos \theta \vec{j}\Rightarrow{\left\|{\gamma'(\theta)}\right\|=R} \)
\( f(\gamma(\theta))=\displaystyle\frac{cos^2 \theta}{R} \)
A lo largo de la circunferencia \( \theta \) varía desde 0 hasta ...
Ahora si \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(\gamma (\theta))\left |{\gamma'(\theta)}\right | \ d \theta=... \)
Creo lo puedes hallar.
Saludos
