Hola
He mirado el video del enlace que adjuntas y veo que es bastante intuitivo pero no demuestra nada. Es más confunde.
Pues a mi me parece razonablemente bien explicado; no entiendo muy bien porque dices que cofunde.
El ejemplo de las monedas y los círculos que se recortan es ilustrativo pero parece que concluye diciendo que el número de vueltas se consigue sumando 1 a las que da el razonamiento intuitivo de la razón entre longitudes de bordes, lo que no es cierto pues sólo sirve en el caso de que un círculo tenga 3 veces el radio del que gira. Con otra proporción el número de giros cambia e incluso puede ocurrir que gire indefinidamente sin volver nunca a la posición inicial
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No es cierto que sólo sirva en el caso de que un círculo tenga 3 veces el radio que gira. Desde luego y sin más matices sirve siempre que el radio del círculo grande sea un múltiplo entero del radio del círculo pequeño.
Y en el problema que plantea el vídeo, es cierto para cualquier ratio: está estudiando las vueltas que da el círculo pequeño cuando su centro vuelve al punto de partida. Eso obviamente ocurre siempre; incluso aunque el ratio sea irracional.
La demostración de esa vuelta extra es sencilla. Si el ángulo que forma el punto de contacto de ambas circunferencias con el semieje \( OX^+ \) es \( \alpha \), desde la semirrecta que lo une con el origen, la circunferencia pequeña todavía ha girado un ángulo adicional \( \delta \). Dado que la longitud que ambas circunferencias han compartido es la misma se tiene que cumplir que:
\( R\alpha=r\delta\quad \Rightarrow\quad \delta=\dfrac{R}{r}\cdot \alpha{} \)
Por tanto en total y con respecto al eje \( OX^+ \) un punto de la circunferencia pequeña ha girado
\( \alpha+\delta=\alpha\left(1+\dfrac{R}{r}\right) \)
El centro dela circunferencia pequeña vuelve a su posición inicial cuando \( \alpha=2\pi \) y en ese momento cualquier punto sobre ella ha girado un ángulo \( 2\pi\left(1+\dfrac{R}{r}\right) \), es decir, ha dado \( 1+\dfrac{R}{r} \) vueltas.
En el gráfico he añadido una espiral que hace de contadora de vueltas (copia el ángulo de giro de un punto de la circunferencia pequeña pero aumentando levemente su radio a medida que crece).
Saludos.
