[ancape]

Hola

Para completar la saga de triángulos y elipses os propongo el siguiente ejercicio:

Dada una elipse de semiejes a,b, encontrar un rectángulo inscrito en ella que tenga área máxima.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Para completar la saga de triángulos y elipses os propongo el siguiente ejercicio:

Dada una elipse de semiejes a,b, encontrar un rectángulo inscrito en ella que tenga área máxima.

 Este es un clásico que ya ha salido más veces en el foro.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=91367.msg368976#msg368976

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=11043.0

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=39764.msg159774#msg159774


 Pero una forma sin apenas hacer cuentas:

Spoiler

La elipse de semiejes \( a,b \) se puede deformar a una circunferencia de radio \( a \) haciendo el cambio \( y=by'/a \) de manera que las áreas quedan multiplicadas por una constante: \( a/b \). Además dado que las diagonales del rectángulo pasan por el centro de la elipse, al deformar a la circunferencia tales diagonales serán también diámetros y por tanto los ángulos de los lados adyacentes rectángulos; es decir los rectángulos se transforman en rectángulos. Es sabido que el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio \( a \) es el cuadrado de área \( 2a^2 \); tomando el cuadrado con lados paralelos a los ejes y deshaciendo la deformación nos da un rectángulo de área \( 2a^2\cdot b/a=2ab \).

[cerrar]

Saludos.