Buenas!
Estoy intentando resolver este límite, pero no logro llegar al resultado
\( \displaystyle\lim_{x,y \to{(0,0)} }{\dfrac{x-y+2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}} \)
En primer lugar, realicé límites iterados, llegando a que el posible límite es 2. Sin embargo, aproximandome mediante diferentes rectas o curvas, no logro desestimar ese valor, y a su vez, no hallo forma de afirmar que el límite vale 2.
Por otro lado, realicé una representación gráfica y efectivamente el límite es 2.
Agradecería mucho vuestra ayuda, desde ya, muchas gracias.
P.D: En el ejercicio me pide que haga caso omiso a que el límite se anula en y=x
Disculpen, es mi primera vez utilizando laTex y se me ha complicado para escribir el límite
Hola
Otro método. Simplemente descomponiendo el numerador
\( \displaystyle\lim_{x,y \to{0} }{\dfrac{x-y+2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}=\displaystyle\lim_{x,y \to{0} }{\dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}+\displaystyle\lim_{x,y \to{0} }{\dfrac{2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}=0+2=2 \)
Creo que la notación original \( \displaystyle\lim_{x,y \to{(0,0)} } \) es mejor que \( \displaystyle\lim_{x,y \to{0} } \) pues en el segundo caso parece que es el límite iterado primero tiende \( y \) a \( 0 \) y luego \( x \). En todo caso si deseamos expresar que \( x \) e \( y \) tiende a cero sin importar el camino. deberíamos escribir \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(0,0)} } \). ¿Qué opináis?
En cualquier caso es una simple discusión por una notación que puede obviarse con los comentarios adecuados en la presentación de la solución.
Saludos
