[okotol]

Hola, estoy buscando ayuda para resolver la demostración de la implicación de derecha a izquierda de este problema.
Los datos que se nos da son:
Una función diferenciable \(  f:\mathbb{R^2}\rightarrow{}\mathbb{R}  \) se denomina radial si y solo si existe alguna función derivable  \( h:[0,+\inf]\rightarrow{}\mathbb{R} \)
tal que  \(  f(x,y)=h(\sqrt[ ]{x^2+y^2}) \)  \(  \forall{}(x,y)\in{}\mathbb{R^2} \)


Ahora se nos pide demostrar:

Demostrar que f es radial si y sólo si verifica:
\(  y\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x,y)=x\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x,y) \)  \(  \forall{}(x,y)\in{}\mathbb{R^2} \)
Sugerencia: utilizar el cambio a coordenadas polares.

Gracias

[delmar]

Hola Alejaa

Bienvenido al foro

Es conveniente mostrar que se ha hecho por resolver el problema, de esa manera nos entendemos mejor.

Observa que si denominamos :

\( g  \  : \ R^2\rightarrow{R} \)

\( (x,y)\rightarrow{g(x,y)=\sqrt[ ]{x^2+y^2}} \)

Esta función es continua y diferenciable \( \forall{(x,y)} \ / \ x\neq 0\vee y\neq 0 \)    y

\( \exists{h}:[0,\infty)\rightarrow{R} \)

            \(   s\rightarrow{h(s)}  \) tal que \( f(x,y)=h(\sqrt[ ]{x^2+y^2})\Rightarrow{f(x,y)=h(g(x,y))} \) en consecuencia

\( f=h \ o \ g \) por ser h diferenciable, f también es diferenciable y se cumplira la siguiente relación entre las matrices jacobianas de estas funciones:

\( J(f)=J(h)J(g)\Rightarrow{(f_x \ \ f_y)=(h_s) \ \ (g_x \ \ g_y)} \) esto implica producto de matrices :

\( f_x=h_s \ g_x \)

\( f_y=h_s \ g_y \)

\( g_x=\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}} \)

\( g_y=\displaystyle\frac{y}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}} \)

¿Son distintas de cero estas derivadas, en que puntos? Creo que puedes sacar conclusiones con este análisis.


Saludos

[ani_pascual]

Hola, estoy buscando ayuda para resolver la demostración de la implicación de derecha a izquierda de este problema.
Ahora se nos pide demostrar:

Demostrar que f es radial si y sólo si verifica:
\(  y\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x,y)=x\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x,y) \)  \(  \forall{}(x,y)\in{}\mathbb{R^2} \)
Sugerencia: utilizar el cambio a coordenadas polares.

Gracias

Hola:
Se te da la bienvenida al foro. Aunque no estoy muy seguro, se me ocurre lo siguiente:
\( ``\Longleftarrow" \)
\( f(x,y)=f(\rho\cos\theta,\rho\sen\theta)=F(\rho,\theta)\Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{\partial F}{\partial\rho}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\cos\theta+ \dfrac{\partial f}{\partial y}\sen\theta\\\dfrac{\partial F}{\partial\theta}=-\dfrac{\partial f}{\partial x}\rho \sen\theta+ \dfrac{\partial f}{\partial y}\rho\cos\theta\end{array}\right.\hspace{1cm}(1) \)
Como \( y\dfrac{\partial f}{\partial x}=x\dfrac{\partial f}{\partial y}  \) se tiene que \( \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\cos\theta}{\sen\theta}\dfrac{\partial f}{\partial y} \), luego de \( (1) \) se deduce que \( \dfrac{\partial F}{\partial\rho}=\dfrac{\cos^2\theta}{\sen\theta}\dfrac{\partial f}{\partial y}+ \dfrac{\partial f}{\partial y}\sen\theta=\dfrac{\partial f}{\partial y}\left(\dfrac{1}{\sen\theta}\right)=\dfrac{\rho}{y}\dfrac{\partial f}{\partial y}\Longrightarrow \dfrac{\dfrac{\partial F}{\partial\rho}}{\rho}=\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial y}}{y}\hspace{1cm}(2) \)
y además \( \dfrac{\partial F}{\partial\theta}=-\dfrac{\partial f}{\partial x}\rho\sen\theta+ \dfrac{\partial f}{\partial y}\rho\cos\theta=-\rho\cos\theta\dfrac{\partial f}{\partial y}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\rho\cos\theta=0 \); en definitiva, se deduce que \( F \) no depende de \( \theta \) y que \( f(x,y)=F(\rho)=F(\sqrt{x^2+y^2})=F(\sqrt{x^2+y^2}) \)
Saludos