Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Me cruce con un ejercicio donde me pedían hallar dominio, imagen (rango) y conjunto de ceros de dos funciones y su suma. \( f(x)= 2e^{x+1}-1 \) y \( g(x)=\dfrac{1}{2x-1} \). Todo venia bien con las funciones por separado, solo me quedo hallar el conjunto de ceros de \( h(x)= 2e^{x+1}-1+\dfrac{1}{2x-1} \). Intente de varias formas pero no llegue a nada concreto en hoja, utilice mathway y me dice que no tiene intercepciones en x, pero utilizando graficadoras se visualiza que si, lo que mas me interesa es el proceso para resolverlo si alguno puede ayudarme me viene de 10. Gracias.
La ecuación:
\( 2e^{x+1}-1+\dfrac{1}{2x-1}=0 \)
no puede resolverse explícitamente, así que es normal que no llegases a nada intentado calcular sus ceros.
A lo más que podemos aspirar (sin usar métodos numéricos) es a estimar cuantas ráices tiene.
Notamos que:
- Si \( x>1/2 \), \( h(x)>2e-1+\dfrac{1}{2x-1}>2e-1>0 \) luego no hay raíces en \( (1/2,+\infty) \).
- Para \( x<1/2 \):
\( h'(x)=2e^{x+1}-\dfrac{2}{(2x-1)^2} \)
\( h''(x)=2e^{x+1}+\dfrac{8}{(2x-1)^3}>0 \)
Dado que la segunda derivada no se anula nunca en \( (-\infty,1/2) \) por el Teorema de Rolle a lo sumo puede haber dos raíces.
Ahora:
\( h(0)=2e-1/2>0 \)
\( \displaystyle\lim_{h \to 1/2^-}{}h(x)=-\infty \)
\( h(-2)=2e^{-1}-1-\dfrac{1}{5}<0 \)
Por tanto hay una raíz en el intervalo \( (-2,0) \) y otra en el intervalo \( (0,1/2) \) y son las únicas raíces.
Saludos.
