Hola a todos! vuelvo con otro ejercicio de parametrización, si bien lo hice, tengo dudas de si estoy procediendo bien o me estoy complicando de más. El ejercicio es el siguiente:
1 - Sea la superficie $$ E = x^2 + y^2 + z^2 = 1 $$ y el plano $$ \pi : z = ax $$
a) Hallar la parametrización de $$ C = E \cap{\pi} $$
b) Hallar todos los valores $$ a \in{\mathbb{R}}$$ tal que la recta tangente a $$C$$ en el punto $$(0,1,0)$$ sea $$ t(-2,0,2) + (0,1,0) $$
Para el inciso a), la expresión de la curva a la cual llegué es
$$ r(t) = (\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{1+a^2}}.cos(t), sen(t), a\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{1+a^2}} cos(t)) $$
En ese punto, me costó parametrizar la elipse, que queda de reemplazar a z con la expresión del plano en la ecuación de la esfera. Quizás hay una forma más fácil de hacerlo.
Para el punto b) , los valores de a que hallé fueron 2 , y raros. Eran $$ a_1 = \displaystyle\frac{\pi\sqrt[ ]{1-\pi^2}}{1-\pi^2} $$ y $$ a_2 = \displaystyle\frac{-\pi \sqrt[ ]{1 - \pi^2}}{1-\pi^2}$$
Para llegar a esto, busqué el valor de t que correspondía al punto $$ (0,1,0) $$ . Luego derivé la expresión de $$ r(t)$$ así obtuve la dirección de la recta tangente a la curva $$ r'(t) $$ para cualquier punto. Luego igualé esta expresión a la dirección $$ t(-2,0,2) $$ y como ya tenía el valor de t que correspondía al $$(0,1,0)$$ , me quedaba una única incógnita que era a. Despejando, llegué a una expresión cuadrática con a y obtuve esos 2 valores posibles para a.
¿Habrá otra forma de hacerlo? Cuando tengo que parametrizar quizás es la parte más complicada de ver para mi. Me basé en el apunte adjunto.
Saludos y gracias desde ya!
