[petras]

Considerando un triángulo \( ABC \), siendo a, b y c las medidas de los lados opuestos a los ángulos internos \( \angle BAC \), \( \angle ABC \) y \( \angle ACB \) , en ese orden y \( a^2 \neq b^2-c^2 \), se puede afirmar que:(R:\( \dfrac{tg\angle B}{tg \angle C} = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2} \))

Intenté usar la ley de los senos y cosenos pero no encontré la solución.
\(
c^2 = a^2+b^2-2abcos\angle C \implies cos \angle C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\
a^2 = b^2+c^2-2bccos\angle A \implies cos \angle A = \frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}\\
b^2 = a^2+c^2-2accos\angle B \implies cos \angle B = \frac{a^2-b^2+c^2}{2ac}\\
\frac{a}{sen\angle A}=\frac{B}{sen \angle B}=\frac{c}{sen\angle C}  \)

[Pie]

Me sale casi lo mismo, no falta una \( c \)? (no, no falta)

\[ \displaystyle\frac{\tan \angle B}{\tan \angle C} =\displaystyle\frac{\sin \angle B \cos \angle C}{\sin \angle C \cos \angle B} \]

Por el teorema del seno:

\[ \displaystyle\frac{b}{\sin \angle B} = \displaystyle\frac{c}{\sin \angle C} \Rightarrow{} b = \displaystyle\frac{\color{red}c\color{black} \sin \angle B}{\sin \angle C} \]

Sustituyendo:

\[ \displaystyle\frac{\tan \angle B}{\tan \angle C} = \dfrac{b}{\color{red}c\color{black}}\displaystyle\frac{\cos \angle C}{\cos \angle B} \]

Por el teorema del coseno:

\[ \cos \angle C = \displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
 \]

\( \cos \angle B = \displaystyle\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac} \)

Sustituyendo:

\[ \dfrac{b}{\color{red}c\color{black}} \displaystyle\frac{\cos \angle C}{\cos \angle B} = \dfrac{b}{\color{red}c\color{black}}\displaystyle\frac{2ac(a^2+b^2-c^2)}{2ab(a^2-b^2+c^2)}\Rightarrow{} \]

\[ \displaystyle\frac{\tan \angle B}{\tan \angle C}= \displaystyle\frac{\cancel{c}(a^2+b^2-c^2)}{a^2-b^2+c^2} \]

Saludos.

Editado. Me dejé la \( c \) yo. 

[petras]

Me sale casi lo mismo, no falta una \( c \)? (no, no falta)

\[ \displaystyle\frac{\tan \angle B}{\tan \angle C} =\displaystyle\frac{\sin \angle B \cos \angle C}{\sin \angle C \cos \angle B} \]

Por el teorema del seno:

\[ \displaystyle\frac{b}{\sin \angle B} = \displaystyle\frac{c}{\sin \angle C} \Rightarrow{} b = \displaystyle\frac{\color{red}c\color{black} \sin \angle B}{\sin \angle C} \]

Sustituyendo:

\[ \displaystyle\frac{\tan \angle B}{\tan \angle C} = \dfrac{b}{\color{red}c\color{black}}\displaystyle\frac{\cos \angle C}{\cos \angle B} \]

Por el teorema del coseno:

\[ \cos \angle C = \displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
 \]

\( \cos \angle B = \displaystyle\frac{a^2-b^2+c^2}{2ac} \)

Sustituyendo:

\[ \dfrac{b}{\color{red}c\color{black}} \displaystyle\frac{\cos \angle C}{\cos \angle B} = \dfrac{b}{\color{red}c\color{black}}\displaystyle\frac{2ac(a^2+b^2-c^2)}{2ab(a^2-b^2+c^2)}\Rightarrow{} \]

\[ \displaystyle\frac{\tan \angle B}{\tan \angle C}= \displaystyle\frac{\cancel{c}(a^2+b^2-c^2)}{a^2-b^2+c^2} \]

Saludos.

Editado. Me dejé la \( c \) yo. 

Excelente. Agradecido

Saludos