[bb1]

Tengo un largo canalón de materia textil impermeable de un metro de ancho. La forma es un rectángulo largo. En los extremos de los lados más largos se sujeta con dos barras sólidas. ¿Cuál deberá de separar las dos barras de acero para que pueda trasportar mayor caudal? Es decir, que la parábola generada por la gravedad, encierre la máxima superficie.



Mensaje de la moderación: se ha insertado la imagen adjunta en el texto. Aquí tienes un tutorial sobre cómo se hace.

[ancape]

Tengo un largo canalón de materia textil impermeable de un metro de ancho. La forma es un rectángulo largo. En los extremos de los lados más largos se sujeta con dos barras sólidas. ¿Cuál deberá de separar las dos barras de acero para que pueda trasportar mayor caudal? Es decir, que la parábola generada por la gravedad, encierre la máxima superficie.

Hola

Tal vez no haya entendido bien el enunciado pero creo que la sección que detalla el archivo png que adjuntas no es una parábola, sino un catenaria.

Saludos

[delmar]

Hola

El enunciado no esta muy claro, la observación de ancape es muy cuerda; suponiendo que el perfil de la tela adopte en efecto la forma de una parábola (esto es discutible), considerando como ejes cartesianos, eje Y vertical parte positiva hacia arriba, eje X horizontal parte positiva hacia la derecha y origen vértice de la parábola, se tiene la ecuación :

\( y=ax^2 \), denominando L la semilongitud de la barra, lo que se busca es 2L tal que el área marcada A sea máxima. \( A=2L \  y(L)-2\displaystyle\int_{0}^{L}ax^2 \ dx=2L \ aL^2-2a(\displaystyle\frac{L^3}{3}) \)

En consecuencia \( A=\displaystyle\frac{4aL^3}{3} \)

Pero hay una condición la longitud de la parábola ha de ser una constante 1 m esto implica una relación  entre a y L con el método clásico se tiene :

\( 1=2\displaystyle\int_{0}^{L}\sqrt[ ]{1+(\displaystyle\frac{dy}{dx})^2} \ dx=2\displaystyle\int_{0}^{L}\sqrt[ ]{1+(2ax)^2} \ dx=(\displaystyle\frac{1}{a})\displaystyle\int_{0}^{2aL}\sqrt[ ]{1+u^2} \ du \) válido para todo L, incluso la integral se puede determinar, pero adopta una forma complicada.



Saludos

[bb1]

Tengo un largo canalón de materia textil impermeable de un metro de ancho. La forma es un rectángulo largo. En los extremos de los lados más largos se sujeta con dos barras sólidas. ¿Cuál deberá de separar las dos barras de acero para que pueda trasportar mayor caudal? Es decir, que la parábola generada por la gravedad, encierre la máxima superficie.

Hola

Tal vez no haya entendido bien el enunciado pero creo que la sección que detalla el archivo png que adjuntas no es una parábola, sino un catenaria.

Lo hice con un programa de dibujo y a mano. ¿Salió una catenaria? Ni apropósito lo hubiera logrado. Gracias.

Es sólo para explicar gráficamente el problema.

Le subo otra imagen con intención de que quede un poco más claro el problema. Eso sí, imaginando que la parte fina es flexible como una tela.

Saludos

Mensaje de la moderación: se ha insertado la imagen adjunta en el texto. Aquí tienes un tutorial sobre cómo se hace.

[ancape]

Hola

La forma que adopta una cuerda inextensible y con resistencia a flexión nula, cuando se cuelga de sus extremos y se somete sólo a la fuerza de la gravedad, es una catenaria. La catenaria es una curva muy parecida cerca del origen a la parábola. Lo malo de confundir ambas cuando se construyen arcos es que en la parábola aparecen fuerzas cortantes y momentos mientras que en una catenaria todo son fuerzas de tracción y compresión.
El problema de manejar arcos catenarios es que las operaciones en la que intervienen funciones hiperbólicas son a menudo muy complicadas y sólo pueden resolverse con ayuda de ordenador.

En la figura y la hoja de Geogebra que adjunto, simulo la forma de un cuerda de un metro de longitud cuando se cuelga de sus extremos a diferentes distancias. Puede moverse el punto B para observar la forma que adopta la cuerda. La distancia de los puntos de colgadura que hace máxima el área de la sección es 0.7 m que da un área de \( 0.079 m^2  \), cifra que se ha obtenido dividiendo el segmento inicial \( A_0B_0 \) en gran número de partes y observando que el área de la sección cuando AB = l es \( a^2Sinh(\displaystyle\frac{l}{a}) \).

Saludos

[delmar]

Hola

La forma que adopta una cuerda inextensible y con resistencia a flexión nula, cuando se cuelga de sus extremos y se somete sólo a la fuerza de la gravedad, es una catenaria. La catenaria es una curva muy parecida cerca del origen a la parábola. Lo malo de confundir ambas cuando se construyen arcos es que en la parábola aparecen fuerzas cortantes y momentos mientras que en una catenaria todo son fuerzas de tracción y compresión.
El problema de manejar arcos catenarios es que las operaciones en la que intervienen funciones hiperbólicas son a menudo muy complicadas y sólo pueden resolverse con ayuda de ordenador.

En la figura y la hoja de Geogebra que adjunto, simulo la forma de un cuerda de un metro de longitud cuando se cuelga de sus extremos a diferentes distancias. Puede moverse el punto B para observar la forma que adopta la cuerda. La distancia de los puntos de colgadura que hace máxima el área de la sección es 0.7 m que da un área de \( 0.079 m^2  \), cifra que se ha obtenido dividiendo el segmento inicial \( A_0B_0 \) en gran número de partes y observando que el área de la sección cuando AB = l es \( a^2Sinh(\displaystyle\frac{l}{a}) \).

Saludos

Claro que sí, eso es lo exacto, válido para cuerdas, cables e incluso cadenas, adoptan la forma de una catenaria, quizás por tener una longitud corta el perfil (1 m) lo asumen como parábola.; aún asi es discutible por que hay un efecto gravitatorio aumentado por la circulación de un fluido.

Saludos

[ani_pascual]

Tengo un largo canalón de materia textil impermeable de un metro de ancho. La forma es un rectángulo largo. En los extremos de los lados más largos se sujeta con dos barras sólidas. ¿Cuál deberá de separar las dos barras de acero para que pueda trasportar mayor caudal? Es decir, que la parábola generada por la gravedad, encierre la máxima superficie.



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Hola:
Pienso que el problema no es tan sencillo como considerar una catenaria, ya que se trataría de minimizar la energía potencial gravitatoria, no ya de una curva, sino de una sección y, por ende, de todo el fluído. A mí me desborda 
Si el canalón no fuera de textil impermeable sino de un material rígido, y lo que quieres es maximizar el caudal, ya está todo inventado, pues la sección semicircular es la de máxima área para un perímetro fijado (1 m), así es que los canalones de sección semicircular son los de mayor volumen    \( \pi r =1\Longrightarrow 2r=\dfrac{2}{\pi}\simeq 0,6366\ldots \,\,m\Longrightarrow S=\dfrac{\pi r^2}{2}\simeq 0,1592\,m^2\Longrightarrow V=S\cdot L \) donde \( L \) es la longitud de las barras.
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Si suponemos que la sección del canalón es la región delimitada superiormente por una recta \( y=k \) con \( k>\dfrac{1}{2} \) e inferiormente por una catenaria \( y=y_0\cosh\dfrac{x}{y_0} \)

se ha de cumplir \( k=y_0\cosh\dfrac{r}{y_0} \) (1) y su área se calcula como sigue:
\( A=2\displaystyle\int_0^r\left(k-y_0\cosh\dfrac{x}{y_0}\right)\,dx=2\left[kx\right]_0^r-2y_0^2\left[\senh\dfrac{x}{y_0}\right]_0^r=2kr-2y_0^2\senh\dfrac{r}{y_0} \)
Ahora bien, como la anchura del material es 1 metro, se ha de verificar la condición \( 2\displaystyle\int_0^r\sqrt{1+\senh^2\dfrac{x}{y_0}}\,dx=1\Longleftrightarrow 2y_0\senh\dfrac{r}{y_0}=1 \) (2)
Por tanto, dividiendo (2) por (1), \( \dfrac{1}{k}=2\tanh\dfrac{r}{y_0}\Longleftrightarrow \dfrac{r}{y_0}=Argtanh\left(\dfrac{1}{2k}\right) \) con lo que \( A=2kr-y_0\Longleftrightarrow A=r\left(2k-\dfrac{1}{Argtanh\left(\dfrac{1}{2k}\right)}\right) \)
En la siguiente tabla se observa como varían los valores del área en función del parámetro \( k \)

\( \begin{array}{c|c|c|c|}
k & y_0(m) & r (m) & A (m^2)\\\hline
3 & 2,958 & 0,4976 & 0,0279\\\hline
2 & 1,9365 & 0,4946 & 0,0419\\\hline
1 & 0,8660 & 0,4757 & 0,0854\\\hline
0,56 & 0,2521 & 0,3621 & 0,1534\\\hline
0,55 & 0,2291 & 0,3588 & 0,1545\\\hline
0,54 & 0,2039 & 0,3323 & \boxed{0,1548}\\\hline
0,53 & 0,1758 & 0,3108 & 0,1537\\\hline
0,51 & 0,1005 & 0,2319 & 0,1360\end{array} \)

Así pues, para que el área sea máxima y, por tanto, el volumen de fluído que circula por el canalón sea máximo la distancia entre las barras laterales ha de ser aproximadamente \( 2r=\boxed{0,6646\,m} \),que es una abertura un poco mayor que si la sección fuera semicircular \( 2r=0,6366\,m \) en cuyo caso el área es \( 0,1592\,m^2 \).

Saludos

PD: Observación (para el cálculo de los datos de la tabla)
 \( \left\{\begin{array}{l}k=y_0\cosh\dfrac{r}{y_0}\\1=2y_0\senh\dfrac{r}{y_0}\end{array}\right.\Longrightarrow \cosh\dfrac{r}{y_0}=\sqrt{1+\dfrac{1}{4y_0^2}}\Longrightarrow k=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{4y_0^2+1} \)
\( r=y_0\cdot Argtanh\left(\dfrac{1}{2k}\right) \)