[ancape]

Hola

 Respecto al recíproco (y también relacionado con lo que dije antes). Dados los tres vértices de un triángulo cualquiera \( A_1,A_2,A_3 \) con \( A_i=(x_i,y_i) \) si tomamos:

\( F(x,y)=\displaystyle\sum_{i=1}^3{}d((x,y),(x_1,y_1))^2= \)

\( =3(x^2-2\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\cdot x)+3(y^2-2\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\cdot y)+x_1^2+x_2^2+x_3^2+y_1^2+y_2^2+y_3^2 \)
 
 se tiene que \( F(x,y)=cte \) es una circunferencia de centro:

\( \left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right) \) ...¡el baricentro!.

 Entonces si \( F(x,y) \) fuese constante sobre los puntos del círculo inscrito al triángulo, el centro del círculo inscrito debería de coincidir con el baricentro. Pero el único triángulo en el que coinciden incentro y baricentro es el equilátero.

Saludos.

 

[Luis Fuentes]

Hola

Efectivamente, dos elipses se cortan en 4 puntos, 3 elipses en 6 etc., pero si igualamos sus ecuaciones, lo que se obtiene no son las raíces, sino una nueva cónica que combina las anteriores. Creo que todo el problema está en confundir ecuación con función. No se puede hablar de las raíces  de F(x,y) como las de un polinomio de dos variables. En el momento que pongamos F(x,y)=0 hemos cambiado el concepto y lo que antes era una superficie es ahora una curva. Podemos hablar de la intersección de ésta con otras curvas, en particular con la recta y=0.

Sigo sin ver sentido a lo que dices. Veamos:

1) ¿Estás llamando \( F(x,y) \) a la función suma de cuadrados de distancia de un punto \( (x,y) \) a los vértices? ¿De acuerdo? En otro caso dime a que te refieres.

2) Es cierto que \( F(x,y)=0 \) es una cónica (una curva). Aunque si (1) es como digo, esa en concreto sería una degenerada: un punto. \( F(x,y)=cte \) se puede ver que si sería una cónica (de hecho una circunferencia)

3) Y ahora explícame para que cortas esa cónica con rectas y que tiene que ver con que la función \( F(x,y) \) sea constante cuando la evaluamos sobre el círculo inscrito. Tu (supongo, no estoy seguro) que dices que si tomas \( F(x,y)=cte \) siendo esa constante la que se obtiene al evaluar en alguno de los tres puntos de tangencia, esa cónica corta a los lados en un punto doble, el punto de tangencia, y no puede cortarlos en más puntos. Bien. ¿Y qué tiene que ver eso con el hecho de que \( F(x,y) \) sea constante sobre la circunferencia inscrita?.

Si me dejo algo en el tintero para entender lo que quieres decir... explícalo.

Saludos.

P.D. Añadido:

Efectivamente, dos elipses se cortan en 4 puntos, 3 elipses en 6 etc

En realidad \( 3 \) elipses distintas, si consideramos puntos comunes a las tres, como máximo se cortan en \( 4 \) puntos y si consideramos puntos de corte dos a dos, pueden aparecer entonces hasta  \( 12 \) puntos.

[ani_pascual]

...... Las raíces del polinomio
\( F(x,y)=\dfrac{x^2}{4}+y^2-x^2-\dfrac{y^2}{4}=0 \) son cuatro. ¿O estoy equivocado?

Hola

Yo no veo 4, sino que F(x,y)=0 es el par de rectas y=x, y=-x

Saludos

Hola:
Sigo dándole vueltas a alguna de tus afirmaciones, pero no le encuentro sentido. Veo que coincido con lo dicho por Luis Fuentes Así lo entiendo yo: El proceso de buscar las "raíces" de una función real de una variable real, \( y=f(x) \), consiste en hallar su intersección con el eje de abscisas, \( y=0 \). Si la función es polinómica de grado 2, entonces a lo sumo podrá tener 2 "raíces" reales. El proceso análogo a la búsqueda de "raíces", si se trata de una función real de dos variables, \(  z=f(x,y) \), consiste en hallar su intersección con el plano coordenado \( z=0 \), o en otras palabras, en hallar su curva de nivel \( k=0 \). Si la función \( z=f(x,y) \) es polinómica de grado 2, entonces sus "raíces" constituyen una cónica. En definitiva, no le veo el sentido a decir que una función polinómica de grado 2 de dos variables solo puede tener dos "raíces". El ejercicio de electron lo que pide es demostrar que la función \( z=f(x,y) \), "suma de los cuadrados de las distancias a los vértices de \( P(x,y) \)" (en efecto, una función polinómica de grado 2 de dos variables), al evaluarla en la circunferencia inscrita al triángulo equilátero da como resultado una constante, precisamente \( k=\dfrac{5L^2}{4} \). En otras palabras, pide demostrar que la función \( z=f(x,y) \) tiene una curva de nivel \( k \), siendo \( k=\dfrac{5L^2}{4} \), que es precisamente la circunferencia inscrita al triángulo equilátero. Espero haberme explicado.
Saludos
 

[ancape]

.....
Es fácil ver que la cónica \( F(x,y)=cte \) es una circunferencia. Si tomamos como esa constante el valor \( cte=F(P_1)=F(P_2)=F(P_3) \) siendo \( P_i \) los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita, entonces la circunferencia \( F(x,y)=cte \) coincide con la circunferencia inscrita en tres puntos y por tanto son la misma circunferencia (ya que tres puntos la determinan unívocamente). Luego efectivamente si \( (x,y) \) varía sobre la circunferencia inscrita \( F(x,y) \) es constante.
......

Hola

Efectivamente, mi razonamiento 'un polinomio de 2º grado que toma igual valor en tres puntos, es constante'. Me emocioné al ver que F(x,y) era de 2º grado y constante en tres puntos.
La función \( x^2+y^2 \) es constante en los puntos (1,0),(-1,0),(0,1) pero no es constante. Lo más seguro es que el razonamiento correcto sea el que hace Luis en la cita de arriba, pero tengo que estudiarlo a fondo para no tropezar de nuevo en la misma piedra.

 Saludos y disculpas