Se trata entonces de buscar extremales del funcional
\( {\cal H}(z)=\displaystyle\int\!\!\!\int_D \left[ \sqrt{1+z_x^2+z_y^2}+\lambda\left(z-\dfrac{V}{\pi R^2} \right)\right]\,dxdy \)
Si se hace el cambio a coordenadas polares
\( \left\{\begin{array}{l}x=r\cos\theta\\y=r\sen\theta\end{array}\right.\hspace{1cm} z(x,y)=\omega (r,\theta),\hspace{1cm}\omega_r=\dfrac{\partial \omega}{\partial r},\hspace{1cm}\omega_{\theta}=\dfrac{\partial\omega}{\partial\theta} \)
el problema se transforma en buscar extremales del nuevo fucional
\( {\cal I}(\omega)=\displaystyle\int\!\!\!\int_{\tilde{D}}\left[\sqrt{1+\omega_r+\dfrac{\omega_{\theta}^2}{r^2}}+\lambda\left(\omega-\dfrac{V}{\pi R^2} \right)\right]\,rdrd\theta \)
ya que se ha de tener en cuenta el
Jacobiano de la transformación, que es preciso expresar \( z_x,z_y \) en función de \( \omega_r,\omega_{\theta} \) resolviendo el sistema
\( \left\{\begin{array}{l}\omega_r=z_x\cos\theta+z_y\sen\theta\\\omega_{\theta}=-rz_x\sen\theta+rz_y\cos\theta\end{array}\right. \)
y que el nuevo dominio de integración es \( \tilde{D}=\{(r,\theta)\in\mathbb{R}^2\,|\,0\leq r\leq R, 0\leq \theta\leq 2\pi\} \)
Si llamamos \( \Psi(r,\theta,\omega,\omega_r,\omega_{\theta})=\left[\sqrt{1+\omega_r+\dfrac{\omega_{\theta}^2}{r^2}}+\lambda\left(\omega-\dfrac{V}{\pi R^2} \right)\right]\,r \)
y planteamos la
ecuación de Euler-Lagrange, es decir,
\( \dfrac{\partial\Psi}{\partial \omega}-\dfrac{\partial}{\partial r}\dfrac{\partial\Psi}{\partial \omega_r}-\dfrac{\partial}{\partial \theta}\dfrac{\partial\Psi}{\partial \omega_{\theta}}=0 \)
se llega a que hay que resolver la siguiente ecuación en derivadas parciales (EDP):
\( \lambda r=\dfrac{\partial}{\partial r}\left(\dfrac{r\omega_r}{\sqrt{1+\omega_r^2+\dfrac{\omega_{\theta}^2}{r^2}}}\right) + \dfrac{\partial}{\partial \theta}\left(\dfrac{\dfrac{\omega_{\theta}}{r}}{\sqrt{1+\omega_r^2+\dfrac{\omega_{\theta}^2}{r^2}}}\right) \)
cuya apariencia es razonablemente desalentadora.
Ahora bien, suponiendo que \( \omega \) solo depende de \( r \) entonces es \( \omega_{\theta}=0 \) y la EDP anterior se convierte en la siguiente EDO:
\( \lambda r=\dfrac{\partial}{\partial r}\left(\dfrac{r\omega_r}{\sqrt{1+\omega_r^2}}\right)\Longleftrightarrow \dfrac{\lambda r^2}{2} +C=\dfrac{r\omega_r}{\sqrt{1+\omega_r^2}} \)
Despejando resulta
\( \omega_r=\pm\dfrac{\dfrac{\lambda r^2}{2}+C}{\sqrt{r^2-\left(\dfrac{\lambda r^2}{2}+C\right)^2}} \)
Si ahora suponemos que \( C=0 \) entonces se trataría de resolver la EDO:
\( \omega_r=\pm\dfrac{\dfrac{\lambda r^2}{2}}{\sqrt{r^2-\left(\dfrac{\lambda r^2}{2}\right)^2}} \Longleftrightarrow \omega_r=\pm\dfrac{\dfrac{\lambda r}{2}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{\lambda r}{2}\right)^2}} \)
Por integración se obtiene
\( \omega=\pm\dfrac{2}{\lambda}\sqrt{1-\dfrac{\lambda^2r^2}{4}} \)
Como ha de ser \( z(x,y)=0 \) en \( \partial D \), se tiene que \( \omega(R)=0 \) con lo que \( \lambda^2R^2=4\Longleftrightarrow \lambda^2=\dfrac{4}{R^2} \) de donde
\( \omega=\pm\sqrt{R^2-r^2}\Longrightarrow z=\sqrt{R^2-(x^2+y^2)}\Longrightarrow \boxed{x^2+y^2+z^2=R^2} \) con \( z\geq 0 \)
que es la ecuación de la superficie esférica centrada en el origen y de radio \( R=\sqrt[3]{\dfrac{3V}{2\pi}} \)
