[ProfeLeo]

Buenas noches! vi este problema en las pruebas nacionales de olimpiadas y me gustaría saber su solución formal, si alguien puede porfavor

Se dan 2023 puntos en el plano. Pruebe que existe un círculo que contiene 2000 puntos en su interior y deja los otros 23 fuera.

Desde ya muchas gracias!

[geómetracat]

Una manera:

Spoiler

Si un punto \( q \) está a igual distancia de otros dos puntos, necesariamente \( q \) está sobre la mediatriz de los otros dos puntos.

Traza las mediatrices de todos los pares de puntos que te dan. Como este es un número finito de rectas, hay algún punto del plano que no está sobre ninguna de estas mediatrices, digamos \( p \). Ahora, por la elección de \( p \), los \( 2023 \) puntos que te dan están todos a distancias distintas de \( p \). Ordénalos por distancia, de menor a mayor, \( q_1,q_2, \dots, q_{2023} \). Toma un \( r \) tal que \( d(p,q_{2000})<r<d(p,q_{2001}) \). El círculo de centro \( p \) y radio \( r \) cumple las condiciones pedidas.

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