Hola.
Diría que es cierto.
Como \( f \) es holomorfa en \( \Bbb C \setminus\{0\} \) y tiene un polo en \( 0 \), usando su serie de Laurent en \( z=0 \) obtenemos que
\( \displaystyle f(z)=\dfrac{b_m}{z^m} + \dfrac{b_{m-1}}{z^{m-1}} + \cdots + \dfrac{b_1}{z} + \sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \, \forall z \in \Bbb C \setminus\{0\} \)
para ciertos coeficientes \( b_i, a_i \). Si denotamos \( g(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n \) tendremos que \( g \) es una función entera y entonces, se cumple que para \( z \not = 0 \)
\( \displaystyle e^{f(z)} = e^{g(z)} e^{\sum_{n=1}^m \frac{b_n}{z^n}} \)
Es conocido que el segundo factor de lo anterior tiene una singularidad esencial en \( z=0 \) y como el primer factor es una función entera no nula, se concluye que \( e^f \) tiene una sigularidad esencial en \( z=0 \).
Un saludo.
