Hola a todos, estaba haciendo este ejercicio y me enrrollé un poco, con algunos conceptos.
El ejercicio dice lo siguiente:
1) Sea $$f:\mathbb{R^2}\rightarrow{\mathbb{R}} $$ definida por $$f(x,y) = \sqrt[3 ]{x^3 + 8 y^3} $$
a) Estudiar la existencia de las derivadas parciales de f en (0,0)
b) Estudiar la diferenciabilidad de f en (0,0)
No veo si puedo derivar por reglas de derivación o si debo calcular las derivadas parciales por definición. Si me acerco al (0,0) por x<0 veo que las imágenes son negativas y si me acerco por x > 0 las imágenes son positivas.
Como estaba con esta duda, opté por hacer las derivadas parciales por definición, y llegué a algo del tipo:
$$f_x (0,0) = $$ $$\displaystyle\lim_{t \to 0}{\displaystyle\frac{|t|}{t}}= \begin{cases}{1}&\text{si}& t\geq{0}\\-1 & \text{si}& t<0\end{cases} $$
De igual forma me quedo $$f_y (0,0) $$ con límite igual a 2 si t es mayor o igual a 0 y -2 si t es menor que 0.
Si me da dos valores distintos para un limite, entonces ¿no existe el límite y la derivada parcial no existiría?
Se me hizo una laguna, estaba leyendo apuntes pero no pude despejar la duda aún.
Gracias por leer!
