[Tanius]

Tengo la siguiente duda:

Sea \( \mathcal{C} \) una categoría y \( A \) un objeto fijo de \( \mathcal{C} \). Me piden demostrar que \( F:\mathcal{C}\to \textsf{Set} \) es un funtor covariante, definido de la siguiente forma:

1) En objetos, \( F(B)=\textsf{Hom}_{\mathcal{C}}(B,A) \) para cada \( B \) objeto de \( \mathcal{C} \).

2) En morfismos, para cada morfismo \( \alpha\in{\textsf{Hom}_{\mathcal{C}}}(B,C) \), definimos \( F(\alpha ):\textsf{Hom}_{\mathcal{C}} (C,A)\to \textsf{Hom} _\mathcal{C} (B,A) \) dada por \( F(\alpha )(f)=f\circ{\alpha} \) para cada \( f\in{\textsf{Hom} _{\mathcal{C}}} (C,A) \).

Mi duda es: para que \( F \) sea funtor, hay que verificar que \( F(\alpha) \) sea morfismo en \( \textsf{Set} \), es decir, una función.
¿Cómo garantizo que en efecto es una función? Porque tengo entendido que en principio \( \alpha \) podría no ser función.

Quizá no estoy viendo algo, es que todavía no entiendo del todo a las categorías.

Gracias.

[Carlos Ivorra]

Te estás liando. Tienes que \( F(\alpha) \) es una función porque, en efecto, a cada \( f\in{\textsf{Hom} _{\mathcal{C}}} (C,A) \) le asigna un objeto de \( {\textsf{Hom} _{\mathcal{C}}} (B,A) \). Ni \( f \) ni \( \alpha \) tienen por qué ser funciones, pero lo cierto es que \( f\circ \alpha \) está definido (por definición de categoría) y tienes una función que a cada objeto \( f \) le asigna un objeto \( f\circ \alpha \).

Estoy dando muchas vueltas. No sé si me explico.

[Tanius]

Aah, sí, ya te entiendo. Me estaba liando completamente, porque yo estaba tratando de probar que \( f\circ{\alpha} \) era función, pero con lo que me dijiste ya vi mi error.

Gracias. Un saludo