INTRODUCCIÓN¿Cómo lleváis el verano? Me aventuro a presentar una posible demostración del teorema de Fermat para k=3, -
sí, otra más para su histórico 
, como caso particular para una posible demostración más general.
Es evidente que la expresión diofántica \( a^k+b^k=c^k \) está directamente relacionada con las expansiones binomiales, las cuales tienen la peculiaridad de discenir aquellas expansiones sobre exponentes primos y las que no, dado que en las primeras sus coeficientes son, siempre y sin excepción, múltiplos del propio exponente; en las otras no.
Partimos de la idea básica de que una expansión binomial de un k como nº impar siempre se puede expresar, tomando \( C_i \) por el coeficiente binomial, tal que así.
\( (a+b)^k=C_1⋅[a^k+b^k]+C_2⋅(ab)[a^{k−2}+b^{k−2}]+C_3⋅(ab)^2[a^{k−4}+b^{k−4}]+...+C_{j-2}·(ab)^{j-3}[a^{5}+b^{5}]+C_{j-1}·(ab)^{j-2}[a^{3}+b^{3}]+C_{j}(ab)^{j-1}[a+b] \) , donde se da siempre que \( C_1=1, C_2=k, j=\displaystyle\frac{k+1}{2} \)
Y si consideramos que k es un número primo mayor que 2 entonces, sabemos que \( C_2 \) será, precisamente, dicho número primo,\( k \), y dividirá a todos los demás coeficientes de la ecuación, con lo cual podemos usarlo de factor común, junto a (ab), para obtener:
\( (a+b)^k=[a^k+b^k]+k(ab)·[ [a^{k−2}+b^{k−2}]+\displaystyle\frac{C_3}{C_1}(ab)[a^{k−4}+b^{k−4}]+...+\displaystyle\frac{C_{j-2}}{C_1}·(ab)^{j-4}[a^{5}+b^{5}]+ \displaystyle\frac{C_{j-1}}{C_1}·(ab)^{j-3}[a^{3}+b^{3}]+\displaystyle\frac{C_{j}}{C_1}(ab)^{j-2}[a+b] ] \)
Pienso que Fermat conocía el teorema del binomio ya antes que Newton, y le debía parecer maravilloso, apreciar los "anillos" que va generando. En cualquier caso, a partir de esta particular expansión podemos obtener una aproximación a la ecuación diofántica del teorema de Fermat:
\( a^k+b^k=(a+b)^k - k(ab)·[ [a^{k−2}+b^{k−2}]+\displaystyle\frac{C_3}{C_1}(ab)[a^{k−4}+b^{k−4}]+...+\displaystyle\frac{C_{j-2}}{C_1}·(ab)^{j-4}[a^{5}+b^{5}]+ \displaystyle\frac{C_{j-1}}{C_1}·(ab)^{j-3}[a^{3}+b^{3}]+\displaystyle\frac{C_{j}}{C_1}(ab)^{j-2}[a+b] ] \)
Trasteando un poco con esta expresión, y sustituyendo \( (a^{k-i}+b^{k-i}) \) por sus propias expansiones, se aprecia, sólo cuando k es impar, como la expansión toma la forma base \( (a+b)+(ab)(a+b) \) y va generando como estructuras anilladas al estilo de las muñecas rusas, y en la cual resulta posible sacar \( (a+b) \) como factor común de toda la estructura. Con ello se logra transformar una serie de factores sumados en un producto de dos únicos factores -
siempre coprimos a excepción de un caso que ya se comentará en el paso 2:
\( a^k+b^k=(a+b)[(a+b)^{k-1} - k(ab)·[ r_{k−2}]+\displaystyle\frac{C_3}{C_1}(ab)[r_{k−4}]+...+\displaystyle\frac{C_{j-2}}{C_1}·(ab)^{j-4}[r_{5}]+ \displaystyle\frac{C_{j-1}}{C_1}·(ab)^{j-3}[r_{3}]+\displaystyle\frac{C_{j}}{C_1}(ab)^{j-2}]] \)
Los dos factores son:
\( n=(a+b) \)
\( r=(a+b)^{k-1} - k(ab)·[[ r_{k−2}]+\displaystyle\frac{C_3}{C_1}(ab)[r_{k−4}]+...+\displaystyle\frac{C_{j-2}}{C_1}·(ab)^{j-4}[r_{5}]+ \displaystyle\frac{C_{j-1}}{C_1}·(ab)^{j-3}[r_{3}]+\displaystyle\frac{C_{j}}{C_1}(ab)^{j-2}] \)
Y llegados hasta aquí, se entiende que lo que propone el teorema de Fermat es que, simplemente:
\( a^k+b^k=(a+b)^k - k(ab)·[ [a^{k−2}+b^{k−2}]+\displaystyle\frac{C_3}{C_1}(ab)[a^{k−4}+b^{k−4}]+...+\displaystyle\frac{C_{j-2}}{C_1}·(ab)^{j-4}[a^{5}+b^{5}]+ \displaystyle\frac{C_{j-1}}{C_1}·(ab)^{j-3}[a^{3}+b^{3}]+\displaystyle\frac{C_{j}}{C_1}(ab)^{j-2}[a+b] ]\neq c^k=(n·k)^k \), siendo k>2
Antes de continuar, recordemos que para obtener esta forma partimos de k siendo un número primo mayor que 2. De hecho la expansión binomial para k nº pares no se puede convertir en un producto de dos factores; así se aprecia rápidamente para k=2 o k=4. Por tanto, este método no serviría para demostrar el teorema de Fermat para k nº impares.
En definitiva, que podemos definir el Teorema de Fermat como sigue:
\( a^k+b^k\neq (n·r_k)=c^k \), siendo:
\( k>2 \) y un número primo.
\( n=(a+b) \)
\( r=(a+b)^{k-1} - k(ab)·[D] \)
\( [D]=[[ r_{k−2}]+\displaystyle\frac{C_3}{C_1}(ab)[r_{k−4}]+...+\displaystyle\frac{C_{j-2}}{C_1}·(ab)^{j-4}[r_{5}]+ \displaystyle\frac{C_{j-1}}{C_1}·(ab)^{j-3}[r_{3}]+\displaystyle\frac{C_{j}}{C_1}(ab)^{j-2}] \)
Estrategia a seguir: Consiste en presuponer que \( a^k+b^k= n·r=c^k \) es una igualdad con soluciones en los naturales y luego, sobre tal suposición, demostraremos:
1) Que bajo tal suposición inicial o bien \( a \) o bien \( b \), no importa, no pueden ser múltiplos de k (
en concreto de 3 ya que nos centraremos en k=3)
2) Que bajo tal suposición inicial resulta imposible que \( n=(a+b) \) sea múltiplo de k(
en este caso de 3)
3) Que bajo tal suposición inicial resulta imposible que \( a \) o bien \( b \), no importa, no sea múltiplos de k (
en este caso de 3)
