[Albersan]

Hola, ¿cómo están?


Quisiera por favor que me ayudaran con la siguiente integral.


\( {{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}_S} {xyz}\;\;   {dV} \),

donde \( S \) es la región acotada por los cilindros \( x^2+y^2=4 \)  y  \( x^2+z^2=4 \).


Gracias.

[alucard]

Podes restringir la región al primer octante y hacer

\( V=8\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} xyz dzdydx =\dfrac{64}{3} \)

[delmar]

Hola

El orden de integración propuesto por Alucard lo veo conveniente; pero por no ser el integrando constante la simetría no se puede aprovechar solo para ayudar con x,y constante  z varía desde \( -\sqrt[ ]{4-x^2} \) hasta \( \sqrt[ ]{4-x^2} \) halla los demás límites intenta.


Saludos

[alucard]

Hola

El orden de integración propuesto por Alucard lo veo conveniente; pero por no ser el integrando constante la simetría no se puede aprovechar solo para ayudar con x,y constante  z varía desde \( -\sqrt[ ]{4-x^2} \) hasta \( \sqrt[ ]{4-x^2} \) halla los demás límites intenta.


Saludos

Consulta, el integrando no es una función impar ?

[Albersan]

Hola, gracias,



Gracias alucard, calculé la integral para la mitad del primer octante y me dió, \( \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{y}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{4-y^2}}xyz\;\;dxdzdy=\displaystyle\frac{4}{3} \) que para toda la región es \( 16\cdot{\displaystyle\frac{4}{3}}=\displaystyle\frac{64}{3} \)

Hola

El orden de integración propuesto por Alucard lo veo conveniente; pero por no ser el integrando constante la simetría no se puede aprovechar solo para ayudar con x,y constante  z varía desde \( -\sqrt[ ]{4-x^2} \) hasta \( \sqrt[ ]{4-x^2} \) halla los demás límites intenta.

Vale gracias, pero el integrando \( xyz \) toma valores positivos en 4 de los octantes y negativos en los otros 4. Vale decir que la integral debiera ser cero en la región completa. Me podrías explicar por favor eso de que con \( x,y \) constante y variando \( z \) de \( -\sqrt[ ]{4-x^2} \) a \( \sqrt[ ]{4-x^2} \) encuentro los demás límites,

porque evaluo la integral en toda la región: \( \displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-z^2}}^{\sqrt[ ]{4-z^2}}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-z^2}}^{\sqrt[ ]{4-z^2}}xyz\;\;dydxdz \), y me dá igual a \( 0 \).



Gracias.

[delmar]

Hola

El orden de integración propuesto por Alucard lo veo conveniente; pero por no ser el integrando constante la simetría no se puede aprovechar solo para ayudar con x,y constante  z varía desde \( -\sqrt[ ]{4-x^2} \) hasta \( \sqrt[ ]{4-x^2} \) halla los demás límites intenta.


Saludos

Consulta, el integrando no es una función impar ?

Ese concepto se ve en funciones de una sola variable, en este caso el integrando es f(x,y,z)=xyz función de tres variables.

Saludos

[delmar]

Hola, gracias,



Gracias alucard, calculé la integral para la mitad del primer octante y me dió, \( \displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{y}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{4-y^2}}xyz\;\;dxdzdy=\displaystyle\frac{4}{3} \) que para toda la región es \( 16\cdot{\displaystyle\frac{4}{3}}=\displaystyle\frac{64}{3} \)

Hola

El orden de integración propuesto por Alucard lo veo conveniente; pero por no ser el integrando constante la simetría no se puede aprovechar solo para ayudar con x,y constante  z varía desde \( -\sqrt[ ]{4-x^2} \) hasta \( \sqrt[ ]{4-x^2} \) halla los demás límites intenta.

Vale gracias, pero el integrando \( xyz \) toma valores positivos en 4 de los octantes y negativos en los otros 4. Vale decir que la integral debiera ser cero en la región completa. Me podrías explicar por favor eso de que con \( x,y \) constante y variando \( z \) de \( -\sqrt[ ]{4-x^2} \) a \( \sqrt[ ]{4-x^2} \) encuentro los demás límites,

porque evaluo la integral en toda la región: \( \displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-z^2}}^{\sqrt[ ]{4-z^2}}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-z^2}}^{\sqrt[ ]{4-z^2}}xyz\;\;dydxdz \), y me dá igual a \( 0 \).



Gracias.

Cuando se haee la primera integral  \( \displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-x^2}}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}xyz \ dz \) se esta integrando respecto a z, esto significa que x e y permanecen constantes y en efecto el integral es cero.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Hola, ¿cómo están?


Quisiera por favor que me ayudaran con la siguiente integral.


\( {{\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}}_S} {xyz}\;\;   {dV} \),

donde \( S \) es la región acotada por los cilindros \( x^2+y^2=4 \)  y  \( x^2+z^2=4 \).


Gracias.

Como el integrando es impar en las tres (nº impar) variables, toma signos contrarios en \( (x, y, z) \) y en \( (-x, -y, -z) \). Al ser el recinto de integración simétrico respecto del origen, la integral es nula, sin necesidad de cálculo alguno.

Saludos,

[Albersan]

Hola,

Como el integrando es impar en las tres (nº impar) variables, toma signos contrarios en (x,y,z) y en (−x,−y,−z). Al ser el recinto de integración simétrico respecto del origen, la integral es nula, sin necesidad de cálculo alguno.

Si, gracias Ignacio, ahora lo veo más claro.

De todas formas, y aprovechando que no es una integral fácil de plantear, me gustaría hacer el cálculo y así saber si estoy haciendo bien las cosas.


Mi planteamiento es el siguiente: \( \displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-x^2}}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-x^2}}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}xyz\;\;dzdydx= \)   \( \displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-x^2}}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}xy\displaystyle\frac{z^2}{2}|^{\sqrt[ ]{4-x^2}}_{-\sqrt[ ]{4-x^2}}dydx= \)  \( \displaystyle\int_{-2}^{2}\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{4-x^2}}^{\sqrt[ ]{4-x^2}}xy\displaystyle\frac{(4-x^2)-{(4-x^2})}{2}dydx=0 \).  ¿Es correcto?

Gracias delmar: bueno, quisiera hacer la misma pregunta, saber por favor si la integral anterior está bien planteada.


Gracias.