[Albersan]

Hola, quisiera que me ayudaran con el siguiente problema: Evaluar la integral doble \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{R}^{}\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}dA \), donde \( R \) es la región del primer cuadrante limitada por el círculo \( x^2+y^2=1 \) y los ejes coordenados. Utilizando coordenadas cartesianas.


Gracias.

[S.S]

Hola. pensaría (y que me corrijan los demas si me equivoco). Ya que tu integral  esta en el primer cuadrante se tiene que los limtes de integracion son \( 0\leq x \leq 1 \) y \( 0\leq y \leq \sqrt{1-x^{2}} \).

[Abdulai]

Es mas sencillo primero integrar respecto de \( x \) ya que la integral es inmediata
\( \displaystyle\int{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}dx}=\displaystyle\sqrt{x^2+y^2} \)

\( \longrightarrow\;\;\displaystyle\int_0^1{dy\displaystyle\int_0^\sqrt{1-y^2}{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}dx}} \)

[electron]

O bien hacer un cambio a polares, que en este caso es comodísimo:

\( \displaystyle\int_{\theta=0}^{\pi/2}\displaystyle\int_{r=0}^{1}\displaystyle\frac{rcos\theta}{r}rdrd\theta=\displaystyle\int_{0}^{1}rdr\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}cos\theta d\theta=\displaystyle\frac{1}{2} \)

Saludos

[Albersan]

Hola gracias,

Ya lo veo más claro, pero me surgió una duda de si es una integral impropia o no. Ya que el integrando se indefine en \( (0,0) \). ¿Es correcto plantear el problema de la siguiente forma?:

\( \displaystyle\lim_{c\to{0^+}}{\displaystyle\int_{c}^{1}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{1-y^2}}\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}dxdy \)


Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola gracias,

Ya lo veo más claro, pero me surgió una duda de si es una integral impropia o no. Ya que el integrando se indefine en \( (0,0) \). ¿Es correcto plantear el problema de la siguiente forma?:

\( \displaystyle\lim_{c\to{0^+}}{\displaystyle\int_{c}^{1}}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt[ ]{1-y^2}}\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+y^2}}dxdy \)

Gracias.

En realidad:

\( \dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq 1 \)

Así que está acotada. Puedes redefinir la función en \( (0,0) \) como quieras y el valor de la integral no varía.

Saludos.