[Berner]

Hola que tal  no entiendo el c)
Dado el siguiente proceso estocástico:

Se lanza dos dados n veces durante una partida de parchís (india). Determine:

a) El conjunto de estados

b) La parametrización del tiempo.

c) La función de densidad para la Variable aleatoria "Suma de las caras del dado" después de 3 lanzamientos.

Esta bien esto que hice ? El c) alguien sabrá como se hace

a) El conjunto de estados en este proceso estocástico creo que esta determinado por las posibles combinaciones de los resultados de los lanzamientos de los dos dados. Cada dado tiene 6 caras numeradas del 1 al 6, por lo que el estado del proceso estará dado por pares ordenados (x, y), donde x e y representan los resultados de cada dado respectivamente. Los posibles valores para x e y son {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Por lo tanto, el conjunto de estados sería:

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

b) La parametrización del tiempo creo que  se refiere a la cantidad de lanzamientos de los dados en la partida de parchís. Entonces, el tiempo se puede parametrizar con un número entero no negativo n, que representa la cantidad de lanzamientos de los dados.

c)

[Masacroso]

El b) supongo se refiere a los turnos de la partida, es un tiempo discreto (pero tal "parametrización" no está definida, ya que no hay función que pueda asignar a momentos de tiempo real físico turnos de juego, al ser estos impredecibles y depender de la voluntad de los jugadores). Efectivamente tal tiempo se puede representar utilizando enteros no negativos.

El c) está mal enunciado, ya que en el juego sólo intervienen variables aleatorias discretas, las cuales no tienen función de densidad sino de masas, así que entiendo que te piden la función de masas de algo que no queda tampoco muy claro. Tres lanzamientos son seis dados, pero en el parchís no se suman los valores que salen en turnos diferentes, así que asumo te pide la función de masas del vector aleatorio \( Z:=(X_1+X_2,X_3+X_4,X_5+X_6) \), donde los \( X_k \) representan dados (independientes entre sí).

[Berner]

Hola en la parametrización tiempo del tiempo lo puedo expresar así \( T=[0,\infty] \)  y tambien queria preguntar
Si la funcion densidad se puede calcular asi:

 Para calcular la función de densidad de probabilidad de la suma de las caras del dado después de 3 lanzamientos, debemos considerar todas las combinaciones posibles de los resultados de los dados.

La función de densidad de probabilidad para la suma S es:

P(S = s) = P(X + Y = s)

Donde X e Y son las variables aleatorias que representan el resultado de cada dado.

Podemos calcular los valores de P(S = s) para s = 2, 3, ..., 12 sumando las probabilidades de todas las combinaciones posibles que sumen s.

P(S = 2) = P(X + Y = 2) = P(X = 1, Y = 1)
         = P(X = 1) * P(Y = 1)
         = (1/6) * (1/6)
         = 1/36

P(S = 3) = P(X + Y = 3) = P(X = 1, Y = 2) + P(X = 2, Y = 1)
         = P(X = 1) * P(Y = 2) + P(X = 2) * P(Y = 1)
         = (1/6) * (1/6) + (1/6) * (1/6)
         = 2/36
         = 1/18

Continuando de manera similar, podemos calcular las probabilidades para cada valor de s:

P(S = 4) = 3/36
P(S = 5) = 4/36
P(S = 6) = 5/36
P(S = 7) = 6/36
P(S = 8) = 5/36
P(S = 9) = 4/36
P(S = 10) = 3/36
P(S = 11) = 2/36
P(S = 12) = 1/36

Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria "Suma de las caras del dado" después de 3 lanzamientos es:

P(S = 2) = 1/36
P(S = 3) = 1/18
P(S = 4) = 1/12
P(S = 5) = 1/9
P(S = 6) = 5/36
P(S = 7) = 1/6
P(S = 8) = 5/36
P(S = 9) = 1/9
P(S = 10) = 1/12
P(S = 11) = 1/18
P(S = 12) = 1/36

Y se me olvida el espacio de estados que coloque en la parte a) anterior esta bien o mal

[Berner]

¿Está bien esto?

[Masacroso]

Hola en la parametrización tiempo del tiempo lo puedo expresar así \( T=[0,\infty] \)  y tambien queria preguntar
Si la funcion densidad se puede calcular asi:

No está bien. Como dije en el mensaje anterior el tiempo es discreto y, además, las variables aleatorias son discretas por lo que carecen de función de densidad. Por ser más claro: se pueden jugar dos o cinco turnos, pero no \( \pi \) turnos, por tanto no puede ser \( T=[0,\infty ] \), en todo caso será \( T=\mathbb N\cup\{0\} \). Tampoco un dado puede tomar incontables valores diferentes: toma seis valores diferentes, por lo que no puede tener función de densidad sino función de masas.

 

Para calcular la función de densidad de probabilidad de la suma de las caras del dado después de 3 lanzamientos, debemos considerar todas las combinaciones posibles de los resultados de los dados.

Ok, pero repito que en este caso a tal función no se le denomina función de densidad sino de masas.

La función de densidad de probabilidad para la suma S es:

P(S = s) = P(X + Y = s)

Donde X e Y son las variables aleatorias que representan el resultado de cada dado.

Podemos calcular los valores de P(S = s) para s = 2, 3, ..., 12 sumando las probabilidades de todas las combinaciones posibles que sumen s.

P(S = 2) = P(X + Y = 2) = P(X = 1, Y = 1)
         = P(X = 1) * P(Y = 1)
         = (1/6) * (1/6)
         = 1/36

P(S = 3) = P(X + Y = 3) = P(X = 1, Y = 2) + P(X = 2, Y = 1)
         = P(X = 1) * P(Y = 2) + P(X = 2) * P(Y = 1)
         = (1/6) * (1/6) + (1/6) * (1/6)
         = 2/36
         = 1/18

Continuando de manera similar, podemos calcular las probabilidades para cada valor de s:

P(S = 4) = 3/36
P(S = 5) = 4/36
P(S = 6) = 5/36
P(S = 7) = 6/36
P(S = 8) = 5/36
P(S = 9) = 4/36
P(S = 10) = 3/36
P(S = 11) = 2/36
P(S = 12) = 1/36

Ok, creo que está todo bien.

Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria "Suma de las caras del dado" después de 3 lanzamientos es:

P(S = 2) = 1/36
P(S = 3) = 1/18
P(S = 4) = 1/12
P(S = 5) = 1/9
P(S = 6) = 5/36
P(S = 7) = 1/6
P(S = 8) = 5/36
P(S = 9) = 1/9
P(S = 10) = 1/12
P(S = 11) = 1/18
P(S = 12) = 1/36

Y se me olvida el espacio de estados que coloque en la parte a) anterior esta bien o mal

Eso sería la función de masas de la variable aleatoria \( S \), pero pidiéndote los resultados de tres tiradas lo que yo interpreto es que te piden la función de masas de un vector aleatorio \( (S_1,S_2,S_3) \) donde cada \( S_k \) tiene la misma función de masas de \( S \) y además los \( S_k \) son independientes entre sí, de donde se sigue que

\( \displaystyle{
P(S_1=k_1,S_2=k_2,S_3=k_3)=P(S_1=k_1)P(S_2=k_2)P(S_3=k_3)
} \)

donde los \( k_j \) toman valores en \( \{2,\ldots ,12\} \).

[Berner]

¿Entiendo entonces lo qué hice está mal en la función masas o no?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Entiendo entonces lo qué hice está mal en la función masas o no?

Lo que te dice Masacroso es que tu has hallado CORRECTAMENTE la función de masas de la tirada de DOS dados (sumando sus resultados).

Pero en (c) te piden que halles la función de masa de TRES tiradas de ese tipo (tres pares de dados).

Entonces por ejemplo,

\( P(S_1=5,S_2=7,S_3=12)=P(S_1=5)P(S_2=7)P(S_3=12)=\dfrac{4}{36}\cdot \dfrac{6}{36}\cdot \dfrac{1}{36} \).

Saludos.

[Berner]

Ok gracias por la observación

[Berner]

Disculpen que pregunte, ¿mi conjunto de estados está bien?.

[Luis Fuentes]

Hola

Disculpen que pregunte, ¿mi conjunto de estados está bien?.

Si; aunque también en lugar de considerar el valor de los dos dados, se podría considerar su suma que es lo que interesa de cara al juego. Pero esto es simplemente interpretación del enunciado; los dos enfoques pueden ser correctos.

Saludos.