Hola, se puede probar como el volumen de dos pirámides de base cuadrada de lado \( L \) y altura \( h \)
\( V_o= \dfrac{L^2 \cdot h} {2} \)
Las secciones de la pirámide paralelas a la base son cuadrados de lado menor cuanto más alto sea el corte:
Los cuadrados son perpendiculares a la altura de la pirámide.
La suma de las áreas de todas las secciones de la pirámide es su volumen.
Supongamos que \( y(x) \) es el lado del cuadrado de la sección de la pirámide a la altura \( x \).
Cuando \( x=0 \) , \( y(x)=L \), y cuando \( x=h \) , \( f(x)=0 \) .
Por tanto el lado es: \( y(x)=\displaystyle\frac{L\cdot x}{h} \)
El área de la sección (cuadrado) es: \( A(x)=y^2(x) \).
El volumen de la pirámide es: \( V_p=\displaystyle\int_{0}^{h} y^2(x) dx \).
Luego el volumen del octaedro es: \( V_o= 2\displaystyle\int_{0}^{h} y^2(x) \)
...\( = 2\displaystyle\int_{0}^{h} \left( \displaystyle\frac{L \cdot x}{h} \right)^2 dx = 2\displaystyle\int_{0}^{h}\displaystyle\frac{L^2 \cdot x^2}{h^2} dx = 2\displaystyle\int_{0}^{h} \displaystyle\frac{L^2}{h^2}\left[ \displaystyle\frac{x^3}{3} \right]_0^h \)
...\( = 2\left( \displaystyle\frac{L^2 \cdot h}{3} \right) = \displaystyle\frac{2}{3} L^2 \cdot h \)
Luego como \( h = \sqrt[ ]{L^2 - \left( L\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \right)^2} \) tenemos que:
\( \displaystyle\frac{2}{3}L^2 \cdot h = \displaystyle\frac{2}{3}L^2 \left( \sqrt[ ]{L^2 - \left( L\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \right)^2} \right) \)
...\( = \displaystyle\frac{2}{3} L^2 \sqrt[ ]{L^2 \left( 1-\displaystyle\frac{1}{2} \right)}= \displaystyle\frac{2}{3}L^3\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{1}{2}}= \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{3} L^3 \).
No sé si es necesario colocar los pasos de donde sale \( h \) . Saludos
