En esto, seguro que están de acuerdo quienes se expresan en lenguas semitas... 
Muy bien traído.
Es cierto, pero aun esto, me parece que es algo subjetivo.
Por supuesto que es subjetivo. Sólo digo que, en algunos casos, es algo a tener en cuenta a la hora de interpretar a cuál de las proposiciones de una implicación considera uno como condición necesaria / suficiente de la otra.
...
Para aprobar el examen es suficiente que apruebes la asignatura (porque aprobar el examen es necesario para aprobar la asignatura)...
Lógicamente, aprobar la asignatura es una condición suficiente para aprobar el examen, pero psicológicamente eso es un despropósito. Eso no le aporta nada al alumno. Para el alumno, aprobar el examen es una condición necesaria para aprobar la asignatura (eso le aporta información relevante sobre qué tiene que hacer para aprobar la asignatura), pero decir que aprobar la asignatura es una condición suficiente para aprobar el examen, aunque es lógicamente correcto, no le aporta nada de provecho si lo que le interesa es saber cómo aprobar el examen.
De acuerdo
Pues si estás de acuerdo en eso, eso es el único matiz que quería comentar.
Hasta donde entiendo... decir que la "primalidad de \( 2^n-1 \) es una condición suficiente para que \( n \) sea potencia de \( 2 \) equivale, lógicamente, a decir que "el ser \( n \) una potencia de \( 2 \) es una condición necesaria para la primalidad de \( 2^n-1 \)".
Por supuesto. Del mismo modo que es lógicamente equivalente decir que aprobar el examen es condición necesaria para aprobar la asignatura o decir que aprobar la asignatura es condición suficiente para aprobar el examen.
Lo que digo es que nadie vería aprobar la asignatura como una condición para aprobar el examen (en este caso suficiente), sino que lo natural es ver aprobar el examen como una condición (necesaria) para aprobar la asignatura. Lo que digo es que, desde un punto de vista psicológico, "condición" se usa para algo que aporta información relevante sobre otra cosa.
Del mismo modo, al comparar "\( 2^n-1 \) es primo" (algo complicado) con "\( n \) es potencia de 2" (algo fácil de determinar), lo natural es ver lo segundo como una condición que aporte información sobre lo primero, y, concretamente, resulta ser una condición necesaria, pero no suficiente. Plantearlo al revés, siendo lógicamente correcto, es artificioso.
Lo que sospecho que, quizás, quieres expresar es que, como para los iniciados en estos temas, la implicación
\( 2^n-1 \) es primo \( \Longrightarrow n \) es potencia de \( 2 \)
es sencilla o trivial,
No tiene nada que ver con que sea sencillo de probar. Aunque fuera un teorema complicadísimo, el hecho de que sea mucho más fácil de verificar si \( n \) es potencia de \( 2 \) que la primalidad de \( 2^n-1 \), hace que lo natural sea ver lo primero como una condición para estudiar lo segundo.
y el meollo de la cuestión es la primalidad de la expresión \( 2^n-1 \), al decir que es fácil probar la necesidad de la condición, os referís siempre a la condición que se busca para la primalidad de \( 2^n-1 \), en este caso, que "\( n \) sea potencia de \( 2 \)", pero, insisto, creo que esto es así solo para quienes están familiarizados con estos temas de los primos.
No creo que tenga que ver con ninguna familiaridad, más allá de ciertas cosas muy básicas. Si a ti te plantean cómo saber si un número es potencia de \( 2 \), dirás: ¡qué tontería! (salvo que te presentaran algún método revolucionario para comprobarlo más fácilmente que de la forma obvia), pero si te plantean cómo saber si un número de la forma \( 2^n-1 \) es primo o no, eso no es trivial, y por ello cualquier implicación que vincule esto con una propiedad más sencilla lo verás como una condición necesaria o suficiente para que se cumpla esto, independientemente de que sea fácil o difícil de probar.
Para otros, legos en la materia, decir "\( n \) es una potencia de \( 2 \)" o decir "\( 2^n-1 \) es primo" está al mismo nivel: "cuestiones matemáticas",
No creo que para ti estén al mismo nivel: si te dan una calculadora y un número no muy grande, sabrás sin duda que uno de los dos problemas es mucho más engorroso que el otro. Para uno te vendría bien cualquier condición que te permitiera simplificar el cálculo, y poder concluir, por ejemplo, que \( 2^{25}-1 \) no es primo porque \( 25 \) no es potencia de \( 2 \), y esto es una condición necesaria, y en cambio no echarás de menos ninguna base teórica para comprobar por ti mismo si \( 2050 \) es o no potencia de 2.
ya que, para algunos, el hecho de que la primalidad de \( 2^n-1 \) sea condición suficiente para que \( n \) sea potencia de \( 2 \) no es ni un despropósito, ni algo "bobo" ni algo que no aporte nada al estudiante.
😅
Quede claro que cuando digo "bobo" me refiero a que no aporta nada, como no le aporta nada a un alumno que pregunte qué tiene que hacer para aprobar el examen que le digas que le basta aprobar la asignatura.
Y no digo que saber que si \( 2^n-1 \) es primo entonces \( n \) es potencia de \( 2 \) no aporte nada al estudiante. Digo que el estudiante no verá eso como una forma de averiguar si un número es potencia de \( 2 \) (no verá una condición suficiente para ello), sino como una forma de averiguar si un número de la forma \( 2^n-1 \) es primo (como una condición necesaria que se puede usar para concluir, por ejemplo, que \( 2^{25}-1 \) no es primo).
En cualquier caso, lo único que quería plantearte es que, para entender correctamente la (mi) frase que dijiste que no entendiste bien a la primera, lo que tenías que haberte planteado (en lugar de leer de izquierda a derecha) es qué era razonable considerar en ese contexto como condición de qué, aunque la lógica permita las dos opciones, y que eso no presupone ningún conocimiento de la materia, sino simplemente hilar un poco más fino en la psicología de qué se entiende en la práctica por una condición (necesaria o suficiente) para que se cumpla algo, más allá de la pura lógica.
