[Florruiz]

Encuentre la longitud de arco de las curvas generadas por las siguientes ecuaciones paramétricas:

\( x= 3sen(t) \), \( y= 3 cos(t)  \)  \( 0\leq{}t \leq{}2\pi \)
Intenté resolverlo pero no pude,
\( L = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt \)

\( =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{(3sin(t))^2+(-3sin(t))^2 dt
} \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{9sin(t)+9sin(t)}dt \)

[Luis Fuentes]

Encuentre la longitud de arco de las curvas generadas por las siguientes ecuaciones paramétricas:

\( x= 3sen(t) \), \( y= 3 cos(t)  \)  \( 0\leq{}t \leq{}2\pi \)
Intenté resolverlo pero no pude,
\( L = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt \)

\( =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{(\color{red}3sin(t)\color{black})^2+(-3sin(t))^2 dt
} \)

\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{\color{red}9sin(t)+9sin(t) \color{black}}dt \)

Tienes mal las cuentas. La derivad del seno es el coseno y te has olvidado de los cuadrados.

Es prácticamente igual a este:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=123783.0;topicseen

Revísalo.

Saludos.

[Pie]

Tienes mal la derivada de \( 3\sin(t) \), es \( 3\cos(t) \). Luego al elevar al cuadrado queda solo el 9, por la  identidad trigonométrica \( \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \).

Saludos.

Se adelantó Luís.

[Florruiz]

\( L = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt \)

\( =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{3cos(t)^2+(-3sin(t))^2 dt
} \)


\( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt[ ]{9cos(t)^2+9sin(t)^2 }dt \)

Luego factorizo el término común  9 y me queda:
\( \sqrt[ ]{9(cos^2(t) + sin^2(t))} \)
\( =\sqrt[ ]{9}\sqrt[ ]{cos^2(t)+sin^2(t)} \)

Luego

\( \sqrt[ ]{9}= 3 \)

\( = 3 \sqrt[ ]{cos^2(t)+ sin^2(t)} \)

\( =3 \)
\( = \displaystyle\int_{0}^{2\pi}3dt \)
\( = 6\pi \)
Está correcto chicos? Gracias a todos por el apoyo

[Pie]

Sí, está bien.

Saludos.